Álgebra booleana

ETAPA 7 ETAPA 8

Álgebra de Boole.

Pode ser definida com um conjunto de operadores e um conjunto de axiomas, que são assumidos verdadeiros sem necessidade de prova, diferentemente da álgebra ordinária dos reais, onde as variáveis podem assumir valores no intervalo (-¥;+¥), as variáveis Booleanas só podem assumir um número finito de valores. Em particular, na álgebra Booleana de dois valores, cada variável pode assumir um dentre dois valores possíveis, os quais podem ser denotados por [F,V] (falso ou verdadeiro), [H,L] (high and low) ou ainda [0,1]. Nesta disciplina, adotaremos a notação [0,1], a qual também é utilizada em eletrônica digital. Como o número de valores que cada variável pode assumir é finito (e pequeno), o número de estados que uma função Booleana pode assumir também será finito, o que significa que podemos descrever completamente as funções Booleanas utilizando tabelas. Devido a este fato, uma tabela que descreva uma função Booleana recebe o nome de tabela verdade, e nela são listadas todas as combinações de valores que as variáveis de entrada podem assumir e os correspondentes valores da função (saídas).

Na álgebra Booleana, existem três operações ou funções básicas. São elas, operação OU, operação E e complementação e todas as funções Booleanas podem ser representadas em termos destas operações básicas.

• Operação OU (Adição Lógica)

Uma definição para a operação OU, que também é denominada adição lógica, é: “A operação OU resulta 1 se pelo menos uma das variáveis de entrada vale 1”. Como uma variável Booleana ou vale 1 ou vale 0, e como o resultado de uma operação qualquer pode ser encarado como (ou atribuído a) uma variável Booleana, basta que definamos quando a operação vale 1. Automaticamente, a operação resultará 0 nos demais casos. Assim, pode-se dizer que a operação OU resulta 0 somente quando todas as variáveis de entrada valem 0. Um símbolo possível para representar a operação OU é “+”, tal como o símbolo da adição algébrica (dos reais). Porém, como estamos trabalhando com variáveis Booleanas, sabemos que não se trata da adição algébrica, mas sim da adição lógica. Outro símbolo também encontrado na bibliografia é “Ú”. Listando as possibilidades de combinações entre dois valores Booleanos e os respectivos resultados para a operação OU, tem-se:

0 + 0 = 0

0 + 1 = 1

1 + 0 = 1

1 + 1 = 1

Note que a operação OU só pode ser definida se houver, pelo menos, duas variáveis envolvidas. Ou seja, não é possível realizar a operação sobre somente uma variável. Devido a isso, o operador “+” (OU) é dito binário.

• Operação E (Multiplicação Lógica)

A operação E, ou multiplicação lógica, pode ser definida da seguinte forma:“A operação E resulta 0 se pelo menos uma das variáveis de entrada vale 0”.Pela definição dada, pode-se deduzir que o resultado da operação E será 1 se, e somente se, todas as entradas valerem 1. O símbolo usualmente utilizado na operação E é “×”, porém outra notação possível é “Ù”. Podemos, também, listar as possibilidades de combinações entre dois valores Booleanos e os respectivos resultados, para a operação E:

0 × 0 = 0

0 × 1 = 0

1 × 0 = 0

1 × 1 = 1

Assim como a operação OU, a operação E só pode ser definida entre, pelo menos duas variáveis. Ou seja, o operador “.” (E) também é binário.

• Complementação (ou Negação, ou Inversão

A operação complementação dispensa uma definição. É a operação cujo resultado é simplesmente o valor complementar ao que a variável apresenta. Também devido ao fato de uma variável Booleana poder assumir um entre somente dois valores, o valor complementar será 1 se a variável vale 0 e será 0 se a variável vale 1. Os símbolos utilizados para representar a operação complementação sobre uma variável Booleana A são A , ~A e A' (lê-se A negado). Nesta disciplina, adotaremos o primeiro símbolo. O resultado da operação complementação pode ser listado:

0 = 1

1 = 0

Diferentemente das operações OU e E, a complementação só é definida sobre uma variável, ou sobre o resultado de uma expressão.