Avaliação da diversidade genética de Brosimum gaudichaudii Trécul

2  SUBESPAÇOS VETORIAIS

        No exemplo 1 do item 1.1.3 nós mostramos que o R3, com as operações usuais, é um espaço vetorial. No exemplo 4 do mesmo item nós mostramos que W (W = {(0, 0, k), k ∈ R}), com as mesmas operações, é também um espaço vetorial. Entretanto, podemos observar que W é um subconjunto de R3 que é, ele próprio, um espaço vetorial. Na verdade, ocorre que dado um espaço vetorial V, é muitas vezes possível formar outro espaço vetorial usando um subconjunto W de V e as operações de V. Como V é um espaço vetorial, as operações de soma e multiplicação por um escalar sempre produzem um  outro vetor de V. Agora, para que um subconjunto W de V seja um espaço vetorial, o conjunto W deve também ser fechado para as operações de soma e multiplicação por um escalar. Ou seja, a soma de dois elementos de W tem que ser um elemento de W e a multiplicação de um elemento de W por um escalar tem que pertencer a W.

1.2.1  Definição.

        Um subconjunto W de um espaço vetorial V é um subespaço vetorial de V, se valem as seguintes propriedades:

          (i) O vetor nulo de V está em W;

 (ii) Se u ∈ W e v ∈ W então u + v ∈ W;

(iii) Se u ∈ W e α ∈ R então αu ∈ W.

Observações.

A melhor forma de verificar se W é subespaço é observando primeiro se ele contém o vetor nulo de V. Se 0 está em W, então as propriedades (ii) e (iii) precisam ser verificadas. De outro modo, se 0 não está em W, então W não pode ser um subespaço e assim, as propriedades (ii) e (iii) não precisam ser verificadas;

 A propriedade (ii) diz que W é fechado para a soma, ou seja, a soma de dois elementos de W é sempre um elemento de W. E a propriedade (iii) diz que W é fechado para a multiplicação por um escalar, isto é, toda vez que um elemento de W é multiplicado por um escalar, o resultado é um elemento de W;

Todo subespaço de um espaço vetorial é ele próprio um espaço vetorial.

1.2.2  Exemplo. Consideremos, como no exemplo 2, item 1.1.4, o espaço vetorial V = R2 com as operações

(x1, y1) + (x2, y2) = (x1 + x2 – 1, y1 + y2 – 1)

λ(x1, y1) = (λx1 – λ + 1, λy1 – λ + 1).

        e os seguintes subconjuntos de V:

W1 = {(1, 1)}                     (lembre que (1, 1) = 0 de V)

W2 = {(x, x) ∈ R2 / x ∈ R}

W3 = V.

        Verifiquemos que W1, W2 e W3 são subespaços vetoriais de V.

∙ Sejam u = (1, 1) ∈ W1, v = (1, 1) ∈ W1 e λ ∈ R;

        0 = (1, 1) ∈ W1;

        u + v = (1 + 1 – 1, 1 + 1 – 1) = (1, 1) ∈ W1;

        λu = (λ.1 – λ + 1, λ.1 – λ + 1) = (1, 1) ∈ W1;

isto é, as propriedades da definição 1.2.1 estão verificadas em W1 que, portanto,  é um subespaço vetorial de V.

∙ Sejam u = (a, a) ∈ W2, v = (b, b) ∈ W2 e λ ∈ R;

        0 = (1, 1) ∈ W2;

        u + v = (a + b – 1, a + b – 1) = (c, c) ∈ W2;

        λu = (λa – λ + 1, λa – λ + 1) = (d, d) ∈ W2,

de forma que W2 é também um subespaço vetorial de V.

∙ É imediato que W3 é um subespaço vetorial de V, uma vez que todo conjunto é um subconjunto de si mesmo.

        Os subespaços W1 = {0} e W3 = V são ditos subespaços vetoriais triviais de V e W2 é dito um subespaço próprio de V. Na verdade, todo espaço vetorial contém pelo menos dois subespaços, a saber: o subespaço nulo e o próprio espaço, por isto ditos subespaços triviais. Os demais subespaços são ditos próprios.

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