ENUNCIADO: CONSIDERE O PARABOLÓIDE ELÍPTICO

Código: 34123 - Enunciado: Considere o paraboloide elíptico . A equação do plano tangente a essa superfície no ponto é .

Portanto, para o ponto (1,1,2), a equação do plano tangente é:

Alternativa correta:

c) .

A equação do plano tangente, nesse caso, é dada por:

Escrevendo a equação do paraboloide na forma temos, para as derivadas:

Assim,

Código: 33365 - Enunciado: Um sólido retangular tem uma temperatura não uniforme que varia de acordo com as equações a seguir:

O ponto de máximo/mínimo da função ocorre em:

Alternativa correta:

e) (0,0)

Achando os pontos de máximo/mínimo:

Assim, o ponto de máximo/mínimo da função é (0,0). Nos pontos (1,1), (1,0), (0,1) e (1,2), as derivadas parciais não zeram, e, portanto, esses pontos não são pontos de inflexão (máximos ou mínimos).

Código: 34111 - Enunciado: A área da figura a seguir pode ser calculada através de uma integral dupla utilizando coordenadas polares.

Lembrando que o elemento de área em coordenadas polares é , leia as asserções a seguir:

A equação do círculo em coordenadas polares é

O intervalo de variação da jvariável é

O intervalo de variação da variável é

É correto o que se afirma em:

Alternativa correta:

e) I, II e III.

Sabemos que e , logo:

Logo, I é verdadeira. Observando a figura, verificamos que os intervalos de variação das variáveis e são, respectivamente,

uma vez que varia de 0 até a curva definida por e a área ocupa o primeiro e o quarto quadrantes. Logo, II e III são verdadeiras.

Código: 34235 - Enunciado: A figura a seguir mostra o gráfico e as curvas de nível para a função

Com base em seu conhecimento e nas representações gráficas apresentadas, analise as asserções a seguir:

I. O ponto (0,0) é um ponto de mínimo local, chamado de ponto de sela.

II. A direção de máxima variação de no ponto (1,1) é

III. Os pontos onde é máxima são e .

É correto o que se afirma em:

Alternativa correta:

e) II e III, apenas.

O ponto (0,0) não é um mínimo local, uma vez que a função em sua vizinhança tem valores negativos (=0 ). No entanto, (0,0) é um ponto crítico, chamado de ponto de sela. Assim, I é negativa. Calculamos agora as derivadas parciais de primeira ordem:

Calculando o gradiente de no ponto (1,1), temos

Logo II é verdadeira.

Pelas figuras, verificamos que a função tem dois pontos de máximo. Para obtê-los, primeiramente, devemos determinar os pontos críticos:

,

logo ou

Assim, os três pontos críticos serão

ponto de sela