ANEXOS DE DESCONHECIDO DIFERENCIAS DE PEDIDO

onde α e a são constantes físicas e u(x,t) é, no caso da equação de calor, a temperatura e, no caso da onda, a amplitude como função da posição x e do tempo t. A equação de calor descreve a condução de energia térmica em um corpo sólido e a equação de onda aparece em uma variedade de problemas envolvendo movimento ondulatório e também na mecânica quântica.

Ordem : A ordem de uma equação diferencial é definida a partir da derivada mais alta que aparece na equação.

Por exemplo, a equação

(3.2.4)

com c e ω constantes, é uma equação diferencial de segunda ordem, pois envolve a segunda derivada da função x(t). A equação acima descreve uma oscilação x(t) com frequência ω e constante de dissipação c.

Número de funções desconhecidas : Outra classificação de equações diferenciais é formulada a partir do número de funções desconhecidas que compõem a solução do problema. Caso só exista uma função a ser determinada, uma única equação diferencial é suficiente. Se existem mais funções, a solução do problema exige um sistema de equações composto por tantas equações diferenciais quantas forem as funções a serem determinadas.

Todas as equações diferenciais mencionadas até aqui tem como solução uma única função. Um exemplo de um problema que envolve mais de uma função é o modelo predador-presa, ou equações Lotka-Volterra como podem ser encontradas em Boyce e Diprima(2012)[2], descrito pelo seguinte sistema de equações diferenciais

(3.2.5)

Na equação acima, x(t) e y(t) são as populações da presa e do predador, respectivamente, a serem determinadas em função do tempo t; a, α, c e γ são constantes cujos valores são baseados em observações empíricas e dependem das espécies particulares em estudo. O modelo acima é muito utilizado em Ecologia e outros ramos das Ciências Naturais.

Linearidade : Segundo Boyce e Diprima(2012)[2], a EDO

F(t,y,y0,...,yn) = 0 (3.2.6)

é dita linear se F for uma função linear das variáveis y,y0,...,yn, onde, nessa notação, y0 se refere à derivada primeira, y00 à derivada segunda, yn a nésima derivada de y em relação à variável independente t. Assim, a EDO linear geral de ordem n é:

a0(t)yn + a1(t)yn−1 + ... + an(t)y = g(t) (3.2.7)

4 APLICAÇÕESEMODELOSCONHECIDOSENVOLVENDOEQUA-

ÇÕES DIFERENCIAIS DE 1a ORDEM

4.1 Decaimento radioativo – Aplicação em Física, Química, Engenharia Nuclear, Arqueologia, Geologia, etc.

Segundo Alves (2009)[1], observações empíricas mostram que a taxa de desintegração de um elemento radioativo, como o carbono-14, em dado instante é proporcional à quantidade do elemento presente naquele instante. Matematicamente, isto significa que

(4.1.1)

onde Q = Q(t) é a quantidade de carbono-14 no material como função do tempo t e k > 0 é a constante de desintegração.

Assim reduz-se o problema da datação de um material através da concentração de carbono-14 à resolução de