Planilha E Calculo

A lei de Coulomb é uma lei básica da eletrostática, mas em algumas situações

envolvendo simetria podemos usar uma lei equivalente que pode simplificar o trabalho no

estudo do campo elétrico. Para tirar proveito nestas situações de simetria, vamos introduzir a lei

de Gauss, deduzida pelo matemático e físico alemão Carl Friedrich Gauss (1777 – 1855). A lei

de Gauss relaciona os campos elétricos nos pontos de uma superfície fechada com a carga total

envolvido por esta superfície.

Antes de enunciar a lei de Gauss vamos introduzir um conceito auxiliar, o fluxo do campo

elétrico. Trata-se de um conceito relacionado ao número de linhas de campo elétrico que

atravessam determinada superfície.

Suponha que uma superfície plana, de área A, seja colocado em uma região onde existe um

campo elétrico uniforme E , como está representado na figura abaixo.

A E

b

a





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Sendo o vetor área A um vetor cujo módulo é igual a uma área A (neste caso a área da

superfície) e cuja direção é normal (perpendicular) ao plano da área, podemos definir o fluxo

do campo elétrico pela seguinte expressão:

E  E A  EAcos

Observe que para 0o   o valor do fluxo é máximo e para 90o   o fluxo é nulo.

Para entender melhor o conceito de fluxo, pode-se supor uma espira quadrada de arame

com área interna A, colocado em uma correnteza uniforme de um rio cuja velocidade da água é

v , ou numa região onde exista um vento com velocidade uniforme v . O fluxo do vetor

velocidade   v  A representa a vazão volumétrica de água ou ar nesta espira. Observe que a

unidade deste fluxo no SI. é m3 / s.

Observação:

Devemos observar que o exemplo acima, no qual temos água ou ar escoando por

uma espira, não tem relação com o fluxo do campo elétrico. O campo elétrico não é

uma grandeza que pode escoar através de uma superfície.

O ponto central da lei de Gauss é uma superfície fechada hipotética chamada de superfície

gaussiana. A superfície gaussiana pode ser de qualquer forma que se queira, mas a superfície

mais útil é uma que reproduza a simetria do problema em questão. Assim, a superfície

gaussiana será frequentemente uma esfera, um cilindro ou outra forma simétrica. Ela deve ser

sempre uma superfície fechada, de modo que possa ser feita uma distinção clara entre pontos

que estão no interior da superfície, sobre a superfície e fora da superfície.

A superfície gaussiana (superfície fechada) não necessita ser uma superfície física real,

como a de um corpo sólido. Na verdade, na maioria das aplicações da lei de Gauss, considerase

uma superfície imaginária, que pode estar no espaço vazio, imersa em um corpo sólido, ou

parte no espaço vazio e parte no corpo.

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Como a lei de Gauss se aplica a uma superfície fechada devemos definir o fluxo de campo

elétrico para estas superfícies gaussianas, este fluxo pode ser calculado imaginando-se a área da

superfície fechada subdividida em quantidades infinitesimais d A e somando um número

infinito de contribuições infinitesimais do fluxo de campo de cada elemento de área. Esta soma

é feita por meio de uma integral.

Na figura abaixo temos a representação de uma superfície fechada arbitrária imersa em um

campo elétrico não-uniforme. Temos em destaque três quadrados que fazem parte desta

superfície. Podemos observar que no quadrado 1 temos cos  0 ( o campo elétrico aponta

para dentro da superfície), portanto a contribuição deste quadrado para o fluxo total na

superfície é negativo. No quadrado 3 temos cos  0 (o campo elétrico aponta para fora da

superfície), portanto a contribuição deste quadrado para o fluxo total na superfície é positivo, e

no quadrado 2 temos cos  0 (o campo elétrico tangencia a superfície), sendo que este

quadrado não contribui para o fluxo total.

1 2 3

1

.

.

N

i

i

E A

E dA

   

 







  













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O círculo no símbolo de integral indica que a integração deve ser feita sobre toda a

superfície