Estudo das derivadas (conceito e aplicações)

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UNIVERSIDADE SEVERINO SOMBRA

UNIDADE MARICÁ

CURSO DE ADMINISTRAÇÃO DE EMPRESAS

MATEMÁTICA 2 – PROF. ILYDIO PEREIRA DE SÁ

ESTUDO DAS DERIVADAS (CONCEITO E APLICAÇÕES)

No presente capítulo, estudaremos as noções básicas sobre derivadas de funções e

algumas de suas aplicações nas áreas da Economia e Administração. A noção de

derivada é uma das mais importantes e poderosas ferramentas da Matemática.

Para um bom entendimento sobre derivadas necessitamos do conceito de taxa de

variação média e também o de taxa de variação instantânea. São dois conceitos

simples, importantes e fundamentais para o entendimento das derivadas.

1) TAXA DE VARIAÇÃO MÉDIA

Vejamos um exemplo inicial:

Considere a função f(x) = x2

, que define a produção (em toneladas) de uma Empresa

X, em função do número de horas trabalhadas (x). Vamos supor que o início do

expediente, que é representado por x = 0, foi 0:00 horas. Podemos verificar que a

produção cresce, proporcionalmente, com o quadrado do número de horas

trabalhadas, isto é, um intervalo de uma hora, entre 2 h e 3 h, por exemplo, vai gerar

uma produção menor que um intervalo de uma hora, entre 5 h e 6 h. Veja isso:

a) Produção da Empresa até as 2 horas 4 f(2) – f(0) = 22

- 0

2

= 4 toneladas.

b) Produção da Empresa até as 3 horas 4 f(3) – f(0) = 32

- 0

2

= 9 toneladas.

Aqui verificamos um aumento de produção de 5 toneladas (9 – 4), em 1 hora,

no intervalo de 2 horas às 3 horas.

c) Produção da Empresa até as 5 horas 4 f(5) – f(0) = 52

- 0

2

= 25 toneladas.

d) Produção da Empresa até as 6 horas 4 f(6) – f(0) = 62

- 0

2

= 36 toneladas.

Aqui verificamos um aumento de produção de 11 toneladas (36 – 25), em 1

hora, no intervalo de 5 horas às 6 horas.

O que o exemplo nos mostra? Que, mesmo sendo um intervalo igual (de 1 hora), a

variação da produção não foi a mesma. Em linguagem matemática, dizemos que a

taxa de variação média da produção, das 2 às 3 horas foi de 5 ton/h e que a taxa de

variação média da produção, das 5 às 6 horas foi de 11 ton/h.

Definição:

Dizemos que a taxa de variação média de uma função y = f(x), no intervalo de a até

b (x variando de a até b) é a razão definida por:

b -a

f (b)-f(a) TV ab

=2

Esta razão apresentada tem uma representação específica na matemática, que é:

x

y

TV a b





 =

Vejamos um segundo exemplo:

Considere a função f(x) = 2x

+ 1. Determine a taxa de variação desta função no

intervalo [2, 5].

Solução:

9,33

3

28

3

33-5

3

2 1-(2 1)

5 2

f (5)-f(2)

x

y

TV

5 2

a b

= = 

+ +

=



=





 =

Uma possível interpretação: Supondo que a função acima estivesse

representando uma população de bactérias (em milhares), em função do tempo

(medido em segundos, após um instante inicial), teríamos que no intervalo de 2 a 5

segundos após o início da contagem, houve um acréscimo médio de 9,33 milhares

de bactérias por segundo. É isso que representa a denominada taxa de variação

média, entre dois pontos de uma função.

Interpretação Geométrica da Taxa de Variação entre dois pontos

Vamos imaginar que o gráfico da função y = f(x) seja o representado abaixo.

Marcaremos nesse gráfico os pontos do domínio a e b, com os respectivos valores

da função (imagem) f(b) e f(a).

y = f(x)

r

f(b)