Resumo Analise Matemática

3 Números reais - Parte II

Resumir o item 3.1

Trazendo um contexto histórico, na Grécia antiga, o próprio numero 1 não era considerado número, mas sim uma “unidade” que formava os números, desta forma os únicos números naturais reconhecidos eram do 2 em diante. As frações que conhecemos hoje existiam de forma indireta, com razões, e os números irracionais não existiam. Somente com a ideia de “incomensurabilidade” que se teve a evidência da necessidade dos números irracionais.

Resumir o tópico “A medição de segmentos”, explicando o que significa “submúltiplo comum”, segmentos comensuráveis e incomensuráveis.

Ao estabelecer uma razão entre dois segmentos retilíneos AB e CD, tem-se que a razão AB/CB é a razão m/n, o que significa que existem um terceiro segmento EF tal que AB seja m vezes EF e CD n vezes esse mesmo segmento EF. Esta situação, similar às dos gregos, é uma razão e não fração pois se tratam de segmentos, não números.

Pitágoras pensava que seria sempre possível encontrar este terceiro segmento EF contido um número inteiro de vezes em AB e outro número inteiro de vezes em CD. Desta forma EF é um submúltiplo comum de AB e CD que serão ditos comensuráveis, justamente por ser possível medi-los ao mesmo tempo, com a mesma unidade EF.

No entanto não é verdade que dois segmentos quaisquer sejam sempre comensuráveis. Em outras palavras, existem segmentos AB e CD sem unidade comum EF, os chamados segmentos incomensuráveis. Descoberta essa que foi motivo de muita surpresa para os matemáticos da época.

Resumir o tópico “Segmentos incomensuráveis”, demonstrando que o lado e a diagonal de um quadrado são grandezas incomensuráveis.

É demonstrado por absurdo que o lado e a diagonal de um quadrado são grandezas incomensuráveis, onde o submúltiplo comum seria a medida de um quadrado de lado tão pequeno quanto fosse desejado, o que é um absurdo. Isso foram os próprios pitagóricos que descobriram que o lado e a diagonal de um quadrado são grandezas incomensuráveis.

Definir retângulo áureo (inserir figuras se julgar necessário).

Se em um retângulo ABCD, for possível suprir um quadrado, como ABFE, e o retângulo restante, CDEF, for semelhante ao retângulo original, este retângulo ABCD será um retângulo áureo. De forma algébrica, com e sendo os comprimentos dos lados, temos: .

Definir razão áurea e número áureo.

A razão é chamada de razão áurea, e seu inverso é chamado número áureo, que respectivamente são aproximadamente iguais a 1,618 e 0,618.

Resumir o tópico “Uma infinidade de retângulo áureos” (inserir figuras se julgar necessário).

Se o retângulo de lados e é áureo, o retângulo de lados e também é. Seguindo a mesma lógica, serão áureos os retângulos de lados e , e , etc. Desta forma, se torna possível formar uma sequência , onde .

Resumir o tópico “Divisão áurea”, citando razão áurea, média e extrema razão (inserir figuras se julgar