SCIENCE OR MAGIC? THE USE OF MODELS AND THEORIES IN DIDACTICS OF MATHEMATICS

SCIENCE OR MAGIC? THE USE OF MODELS AND THEORIES IN DIDACTICS OF MATHEMATICS

Marianna Bosch, Yves Chevallard & Josep Gascón

ABSTRACT

The struggle to eliminate “magic mentality” has affected the development of all scientific disciplines. This process of “de-magification” has been sustained in the use of models created by every discipline. In this sense, any scientific approach in didactics of mathematics uses –more or less implicitly– a general model of mathematical activity and specific models of the different mathematical contents that are taught and learnt at school. Here we summarise the models proposed by the Anthropological Theory of Didactics and the minimal empirical unity of analysis required to use them. The scope of this approach is illustrated through a single example about limits and continuity of functions at secondary school in contrast with the analysis proposed about continuity in terms of “embodiment cognition”.

RESUMO

A luta para eliminar a "mentalidade mágica" afetou o desenvolvimento de todas as disciplinas científicas. Este processo de "desmagificação" tem sido sustentado no uso de modelos criados por cada disciplina. Neste sentido, qualquer abordagem científica em didática da matemática utiliza -mais ou menos implicitamente- um modelo geral de atividade matemática e modelos específicos dos diferentes conteúdos matemáticos que são ensinados e aprendidos na escola. Aqui resumimos os modelos propostos pela Teoria Antropológica do Didático e a unidade empírica mínima de análise necessária para usá-los. O escopo dessa abordagem é ilustrada através de um único exemplo sobre limites e continuidade de funções na escola secundária, em contraste com a análise proposta sobre a continuidade em termos da "cognição corporificada".

1.The Magician and the Scientist

Em sua apresentação na Conferência Internacional Científica em Roma em 2002, Umberto Eco falou sobre "A percepção da Ciência pela opinião pública e a Mídia". O semiólogo italiano afirmou que, mesmo se acreditarmos  viver na Idade da Razão dominada pela ciência, estaremos de fato submetidos à magica  mentalidade que sempre reemerge das cinzas, e que é suportada pela necessidade de satisfação imediata de nossos desejos.

"O que era mágico, o que tem sido ao longo dos séculos e que é, ainda hoje, mesmo sob uma falsa aparência? A presunção de que possamos ir diretamente de uma causa a um efeito por meio de um curto-circuito, sem concluir etapas intermediárias. Por exemplo, você coloca um pino na boneca de um inimigo e obtém a morte dele/dela; você pronuncia uma fórmula e tudo de repente é capaz de converter o ferro em ouro; você chama os anjos e envia uma mensagem através deles. A Magia ignora a longa cadeia de causas e efeitos e, principalmente, não se preocupa em descobrir, processo após processo, se há alguma relação entre causa e efeito."(ECO, 2002, tradução nossa).

Uma diferença essencial entre o mágico e o cientista é que, enquanto o mágico se atreve a dar respostas definitivas, o cientista se esforça, humildemente, para levantar questões que só aceitará respostas provisórias. Enquanto as teorias científicas são tentativas de modelos preliminares de alguns aspectos da realidade, a magia espera pegar toda a realidade para dominar e subjulgar. Os modelos científicos são apenas ferramentas (máquinas) que mediam entre cientistas -que não podem atuar diretamente- e a realidade. Magia, ao contrário, afirma que atuam diretamente sobre a realidade por meio de imagens ou representações dessa realidade (por exemplo, a boneca que representa o inimigo).

De acordo com o sociólogo alemão Max Weber, o progresso científico pode ser descrito como um processo de desmagificação que vem acontecendo há milênios na cultura ocidental (WEBER, 1959). Esta luta para eliminar a mentalidade mágica na explicação dos fatos tem estado presente ao longo da história e tornou-se visível nos períodos de emergência e consolidação de todas as ciências. É fácil de seguir as trilhas desta luta nas origens da maioria das disciplinas: física, química, biologia, medicina, psicologia, antropologia, sociologia, ciência política. Em todos estes casos, "desmagificação" tem sido acompanhada pela modelagem de "partes da realidade" cujos modelos, longe de serem suas representações exatas, acabam por ser boas "máquinas" para produzir conhecimento sobre a realidade questionada.

Com relação à didática da matemática, e uma vez que somos parte da geração fundadora desta disciplina, ainda estamos imersos no processo de "desmagificação". Ainda é comum encontrar alguns "mágicos", que oferecem soluções "mágicas" para os problemas da educação matemática. Suas propostas surgem em termos de slogans gerais que, obviamente, prometem soluções imediatas, diretas e completas. Estas são sempre baseadas em noções de senso comum que, sendo facilmente aceitas e partilhadas por professores, oferecem a ilusão de uma representação fotográfica do sistema educacional. Em lado oposto, qualquer abordagem científica para os problemas relacionados com o ensino e a aprendizagem da matemática precisa elaborar (ou adaptar) os seus próprios modelos específicos, com base em seus próprios termos primitivos e premissas básicas, sobre o domínio da realidade em questão.

2. The Brousseaunian revolution in the didactics of mathematics

No seu início, na década de setenta, a Teoria das Situações Didáticas TSD (Brousseau, 1997) foi uma das primeiras, ao que parece, a indicar a necessidade de uma abordagem científica específica para os problemas de ensino e aprendizagem da matemática. Neste sentido, podemos dizer que ela realizou uma revolução copernicana no campo da educação matemática. Ela propõe uma metodologia que começa por questionar o conhecimento matemático, como ele é implicitamente assumido nas instituições de ensino: o que é a geometria, o que é estatísticas, o que são números decimais, o que é contagem, o que é álgebra, etc. Então propõe modelos epistemológicos específicos do conhecimento matemático -as situações- que são testados experimentalmente: uma noção matemática só pode ser analisado na medida em que aparece como solução para uma situação. Este é o princípio metodológico fundamental da TSD: um pedaço de conhecimento matemático é representado por uma "situação" que envolve os problemas que podem ser resolvidos da melhor forma usando este conhecimento.