Série de Fourier

Séries de Fourier

A história das séries de Fourier ilustra como a solução de um problema físico acaba gerando novas fronteiras na matemática. Fourier foi levado a desenvolver suas séries ao estudar a propagação de calor em corpos sólidos. Admitindo que essa propagação deveria se dar por ondas de calor e levando em conta que a forma mais simples de uma onda é uma função senoidal, Fourier mostrou que qualquer função, por mais complicada que seja, pode ser decomposta como uma soma de senos e cossenos.

Para falar a verdade, a matemática de Fourier era meio capenga, sem o rigor que era exigido por seus contemporâneos como Lagrange e Laplace. Assim mesmo, ele conseguiu o apoio e admiração desses gigantes, além de obter resultados que escaparam pelos dedos de outros gênios como Bernouilli e Euler.

A história das séries de Fourier ilustra como a solução de um problema físico acaba gerando novas fronteiras na matemática. Fourier foi levado a desenvolver suas séries ao estudar a propagação de calor em corpos sólidos. Admitindo que essa propagação deveria se dar por ondas de calor e levando em conta que a forma mais simples de uma onda é uma função senoidal, Fourier mostrou que qualquer função, por mais complicada que seja, pode ser decomposta como uma soma de senos e cossenos.

Para falar a verdade, a matemática de Fourier era meio capenga, sem o rigor que era exigido por seus contemporâneos como Lagrange e Laplace. Assim mesmo, ele conseguiu o apoio e admiração desses gigantes, além de obter resultados que escaparam pelos dedos de outros gênios como Bernouilli e Euler.

Funções Periódicas e Séries de Fourier

1.1 Funções Periódicas

Uma função f é dita periódica se existe um número real positivo T, denominado período de f, tal que f(x) = f(x + T), (1.1) para todo x no domínio de f. Conforme mostrado na Figura 1.1, o gráfico de uma função periódica é obtido pela repetição de qualquer intervalo de comprimento T.

T T T x

Figura 1.1: Uma função periódica.

Segue da equação (1.1) que se f é periódica de período T então para qualquer n inteiro positivo temos f(x) = f(x + nT), ou seja, qualquer múltiplo inteiro positivo nT do período T também é um periodo de f. O menor valor de T que satisfaz a equação (1.1) é chamado período fundamental de f. Qualquer período de f é um múltiplo inteiro do período fundamental. A Figura 1.2 ilustra tal conceito. A freqüência de uma função periódica é definida como o inverso de seu período

T Período fundamental

Figura 1.2: Periodo e período fundamental.

e nos dá o número de repetições (ciclos) em cada intervalo unitário em x. Se x é o tempo medido em segundos então a freqüência f é o número de ciclos por segundo (Hertz). Um outro tipo de freqüência, a qual utilizaremos no estudo das Séries de Fourier, é a freqüência angular, denotada por ω, e definida como

Se T é o periodo fundamental da função f, então sua freqüência (angular) fundamental,