Trabalho Series De Fourier

SÉRIE DE FOURIER

Ana Luíza Mazalotti Teixeira1, Marcel Freitas de Souza2, Victor Nicolau Capacia3

Resumo

As séries de Fourier funcionam como um processo global na resolução de problemas matemáticos, enquanto que uma série de potências apresenta uma funcionalidade é local. Através da série de Taylor de uma função f, obtemos o polinômio de Taylor, o qual dá uma aproximação para a função f nas vizinhanças de um ponto, entretanto esta função f tem que ser obrigatoriamente suave, logo para uma aproximação global, a série de Taylor falha, uma vez que a aproximação de Taylor é local e não global. A série de Fourier é importante também para obter o limite de f em pontos distantes de x, bem como para encontrar valores aproximados para uma integral sobre um intervalo, pois ela trabalha com funções periódicas.

Palavras-chave: Séries de Fourier. Função par. Função ímpar.

1) Introdução

Jean Baptiste Joseph Fourier (1768-1830) foi um importante matemático e físico de origem francesa, que através do seu estudo sobre a propagação de calor em corpos sólidos analisou a decomposição de funções periódicas em séries trigonométricas convergentes, mostrando que qualquer função, por maior complexibilidade que possua, pode ser decomposta em uma soma de senos e cossenos, por isso essas séries receberam o nome de séries de Fourier em sua homenagem. As séries de Fourier apresentam vastas aplicações em diversas disciplinas científicas – na física e química quântica, acústica, oceanografia, processamento de sinal –, logo, torna-se indispensável uma análise dirigida das mesmas com a finalidade de compreenderem-se melhor os diversos fenômenos que ocorrem no mundo.

2) Funções periódicas

Uma função f de R em R é periódica, se existe um número p pertencente R tal que para todo x pertencente a R: f(x+p)=f(x). Na figura 2.1 tem-se um exemplo de uma função periódica.

Figura 2.1 Função periódica

Muitas vezes existem vários números com tal propriedade, sendo que o menor número real positivo com essa característica é chamado de período fundamental de f.

Claramente se p é período da função f, todos os seus múltiplos o serão também. Na figura 2.2 ilustra-se tal conceito.

Figura 2.2 Função periódica com período fundamental

3) Série trigonométrica

Uma série de senos e cossenos do tipo:

é dita série trigonométrica, onde na maior parte das aplicações a variável x é real. Estas séries representam funções periódicas de período 2π, e a soma também será uma função periódica de período 2π.

As funções periódicas podem ser representadas por meio de uma série trigonométrica, deste que f(x) satisfaça os requisitos de convergência estabelecidos por meio das condições de Dirichlet.

4) Condições de Dirichlet

Apesar de não ser possível ainda determinar quais são as condições necessárias e suficientes para que uma função possa ser representada por uma série trigonométrica, com as condições de Dirichlet é possível garantir a convergência da série para uma função, porém com certa restrição. Essas condições são:

1. A função deve ser contínua, e assim limitada, no intervalo (-π,π) exceto talvez em um número finito de pontos de descontinuidade finita.

Exemplo:

Esta função apresenta, num período, apenas um ponto de descontinuidade finita em x=0.

2. Dividindo-se o intervalo (-π,π) em um número finito de subintervalos, a função se comportará de forma monótona em cada subintervalo, apresentando um número finito de máximos e mínimos em um período.

5) Ortogonalidade

Dois termos são ditos ortogonais em relação a um período quando o produto interno entre eles for nulo. Tal propriedade é muito usada para a obtenção dos coeficientes de Fourier, tendo em vista que tais coeficientes são calculados através de produtos internos entre dois termos. Por isso através da propriedade de ortogonalidade é possível saber quais produtos serão nulos e quais não, e qual é a condição para isso.

Logo, podem-se estabelecer as seguintes relações de ortogonalidade considerando o intervalo de (-π,π), as quais serão fundamentais na resolução de problemas relacionados a séries de Fourier.

Podem-se demonstrar matematicamente as relações expostas acima, veja:

6) Determinação dos coeficientes da série de Fourier

Supondo que a função satisfaça as condições de Dirichlet, pode-se assegurar que a série convirja uniformemente no intervalo –π ≤ x ≤ π, se isto ocorrer a série convergirá uniformemente para todos os valores de x. Logo, podem-se obter os coeficientes da série de Fourier explorando-se as relações de ortogonalidade.

Multiplicando-se a equação inicial (1) por cos px, sendo p, número fixo dado e integrando entre (-π,π)

Pode-se determinar a série de Fourier da onda quadrada exposta na figura 6.1, por meio do uso dos cálculos dos coeficientes analisados nessa seção.

A função apresenta a forma analítica abaixo

Logo, pode-se realizar os cálculos referentes aos coeficientes da série de Fourier.

Se n for igual a um número par bn=0 e se n for igual a um número ímpar