ATPS Equações Diferenciais E Series

ETAPA 1

1. EQUAÇÕES DIFERENCIAIS

A Teoria das Equações Diferenciais apresenta aspectos puramente matemáticos e uma multiplicidade de aplicações, além de apresentar diversas ramificações.

As equações diferenciais dividem-se em dois tipos:

• Uma equação diferencial ordinária (EDO) contém apenas funções de uma variável e derivada daquela mesma variável.

• Uma equação diferencial parcial (EDP) contém funções com mais do que uma variável e suas derivadas parciais.

Exemplo de Equações Diferenciais Ordinárias:

1.1 Equações Diferenciais Ordinárias de Primeira Ordem.

A ordem de uma equação diferencial é a ordem da derivada de maior ordem que aparece na equação. Apresentamos a seguir a forma geral de uma equação

diferencial de primeira ordem:

Mas geralmente por meio de simples manipulação algébrica conseguem-se reescrever na forma de uma ou mais equações:

1.1.1 Teorema 1. Existência e unicidade da solução

Considere :

se a função e a derivada parcial de em função de são contínuas numa vizinhança do ponto existe uma solução única em certa vizinhança do ponto que verifica a condição inicial

O intervalo onde existe a solução única pode ser maior ou menor que o intervalo onde a função e a sua derivada parcial são contínuas, portanto não necessárias a existência de solução única. Quando ou a sua derivada parcial não sejam contínuas, provavelmente existe solução única apesar das duas condições não se verificarem.

1.1.2 Aplicação

É frequentemente desejável descrever o comportamento de algum sistema ou fenômeno da vida real em termos matemáticos, quer sejam eles físicos, sociológicos ou mesmo econômicos.

Como hipóteses sobre um sistema envolvem frequentemente uma taxa de variação de uma ou mais variáveis, a descrição matemática de todas essas hipóteses pode ser uma ou mais equações envolvendo derivadas. Em outras palavras, o modelo matemático pode ser uma equação diferencial ou um sistema de equações diferenciais.

Exemplo: Crescimento de tumores

As células de divisão de crescimento livre, como as células de bactérias, por exemplo, crescem numa razão proporcional ao volume das células de divisão neste instante. Seja V (t) o volume das células de divisão no instante t. Então, , para alguma constante positiva •. A solução é:

onde V0 é o volume das células de divisão no instante inicial t0. Assim, as células de divisão de crescimento livre crescem exponencialmente com o tempo. Uma consequência importante de é que o volume das células se mantém duplicando em todo intervalo de tempo de comprimento ln 2/ .

E para encontrarmos esse intervalo do tempo onde o volume das células de divisão é o dobro do instante anterior bastou tomar t = 0; e

As EDO’s estão, e muito, presente em nosso dia a dia. Percebemos assim, a importância do entendimento de equações diferenciais enquanto ferramenta matemática disponível para diversos ramos da ciência.

1.2. Equações Diferenciais Ordinárias de Segunda Ordem.

Uma EDO de segunda ordem em geral tem a forma:

Para resolver uma EDO de segunda ordem, em geral são necessárias duas integrações. Assim, ao resolver esta equação aparecem duas constantes de integração.

Neste caso, um problema de valor inicial para uma EDO de segunda ordem exige duas condições iniciais. Sejam:

Um PVI para uma equação de segunda ordem é constituído por:

Porém, o problema de determinar uma função y(x) tal que y” = f(x; y; y’) é extremamente complexo.

1.2.1 Teorema 2. Existência e unicidade da solução

Se as funções p(t); q(t) e g(t) forem contínuas em algum intervalo (a, b) ⊂ ℝ, então o PVI tem uma única solução y = y(x), definida em (a; b).

1.2.2 Teorema 3. Princípio da Superposição

Se y1 e y2 são soluções da equação homogênea y” + p(x)y’ + q(x)y = 0; então a combinação linear y = c1y1 + c2y2 é também solução dessa equação, quaisquer que sejam c1, c2 números reais. Considerando:

onde p e q são funções contínuas em (a, b) ⊂ ℝ ; então pelo Teorema 2 que vimos anteriormente que existe uma única solução y(x) do PVI acima tal que y(x0) = y0 e y’(x0) = y’0.

Se y1 e y2 são soluções desta equação, então será analisado quais as condições sobre c1 e c2 para que y(x) = c1y1(x) + c2y2(x): Supondo que seja solução, temos:

Ou na forma matricial

Esse sistema algébrico tem solução única se, e somente se, det A≠0, ou seja

y1(x0)y’2(x0)- y’1(x0)y2(x0)≠0. Isso acontece, pois {y1,y2} é l.i. Portanto existem c1 e c2 tais que y(x) = c1y1(x) + c2y2(x).

1.2.3 Teorema 4

Se y1 e y2 são duas soluções particulares da equação linear homogênea

Num intervalo (a,b), e se num ponto x0Є(a,b), o Wronskiano das duas soluções é diferente de zero, portanto será diferente se zero em