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Função Potencia:

1. Toda função do tipo y = x n, onde "n" é um número natural, é chamada Função Potência.

São exemplos de funções potências:•.

• y = x2

• y = x3

• y = x4

e assim por diante.

O domínio de y = x n é o conjunto dos reais, porque sempre podemos calcular x n, independente do valor de "x".

Vamos analisá-la observando o gráfico y = x2 abaixo, onde "n" é um número par:

• para "x" positivo, o crescimento da função é cada vez mais rápido: para "x" no intervalo [1,2] temos "y" no intervalo [1,4]; para "x" no intervalo [2,3] temos "y" no intervalo [4,9]; para "x" no intervalo [3,4] temos "y" no intervalo [9,16]; e assim por diante.

• para "x" negativo, conforme "x" aumenta, isto é, aproxima-se de zero, a função decresce cada vez mais devagar: para "x" no intervalo [-4,-3] temos "y" no intervalo [16,9]; para "x" no intervalo [-3,-2] temos "y" no intervalo [9,4]; para "x" no intervalo [-2,-1] temos "y" no intervalo [4,1]; e assim por diante.

Observe que o gráfico para "x" negativo é uma reflexão do gráfico para "x" positivo.

Para o caso "n" ímpar, temos o gráfico abaixo.

• Faça uma análise similar ao caso "n" par.

Vamos agora olhar para o gráfico abaixo, onde aparece a função y = x n para diferentes valores de "n", e compará-las:

• Para "x" positivo, quanto maior o valor de "n", mais rápido cresce a função.

• E para "x" negativo, como se comporta a função?

Observe o intervalo [0,1] com atenção. A função de maior grau cresce mais devagar que a de menor grau. Vamos ver porque isso acontece, tomando como exemplo os pontos do gráfico com x = 1/2:

● Função Polinomial:

Uma função Polinomial f (x) é uma função da forma

f (x) = P(x) = anxn + an-1xn-1 + ... + a2x2 + a1x + a0

em que n é u inteiro não- negativo e a0, a1,...., an são números dados . Alguns exemplos de funções polinomiais são:

f (x) = 5x³ - 3x² - 2x + 4

g (x) = x4 – x + 1

● Função Racional:

As funções complexas f: C C definidas por expressões polinomiais são denominadas funções polinomiais. Assim:

1ª) f(x) = 2x -1 função polinomial de grau 1.

2ª) g(x) = 3x² -2x -1 função polinomial de grau 2.

3ª) h(x) = x³ 6x² +x -1 função polinomial de grau 3.

4ª) p(x) = x - ix² função polinomial de grau 4.

Então toda função definida por:

f(x) = a xⁿ = a xⁿˉ¹ + ... + a x² + a x + a

para todo x complexo, é denominada função polinomial de grau n, em que n é um número inteiro positivo ou nulo e a ≠ 0.

Se o grau de uma função polinomial for 0, então a função é definida por f(x) = a , com a ≠ 0. Por exemplo: f(x) = 5.

As funções polinomiais de grau 1 grau 2, são respectivamente as funções afim e quadrática já vistas antes, assim como seus respectivos gráficos. As funções de grau 3 e grau 4 e seus respectivos gráficos veremos mais detalhadamente por meio das derivadas a serem vistas mais adiante.

● Função Inversa

O objetivo de uma função inversa é criar funções a partir de outras. Uma função somente será inversa se for bijetora, isto é, os pares ordenados da função f deverão pertencer à função inversa f–1 da seguinte maneira: (x,y) Є f –1 (y,x) Є f.

Dado os conjuntos A = {–2,–1,0,1,2} e B = {3, 4, 5, 6, 7} e a função A→B definida pela fórmula f(x) = x + 5, veja o diagrama dessa função abaixo:

Então={(–2,3);(–1,4);(0,5);(1,6);(2,7)}

Essa função é bijetora, pois cada elemento do domínio está ligado com um elemento diferente no conjunto imagem. Assim, podemos dizer que essa função, por ser bijetora, admite inversa.

A sua função inversa será indicada por f –1: B→A, e será preciso realizar a troca entre x e y na função y = x + 5, dessa forma temos: x = y + 5 → –y = –x + 5 → y = x – 5, portanto f –1(x) = x – 5. Veja o diagrama abaixo:

Então:f–1(x)={(3,–2);(4,–1);(5,0);(6,1);(7,2)}

O que é domínio na função f vira imagem na f –1(x)e vice e versa.

Dada uma sentença de uma função y = f(x), para encontrar a sua inversa é preciso seguir alguns passos. Observe:

Exemplo 1

Dada a função f(x) = 3x -5, para determinarmos a sua inversa f –1(x) precisamos fazer uma troca x e y na expressão y = 3x – 5. Assim teremos x = 3y – 5, logo:

x = 3y – 5

–3y = –x –5 (multiplicar por –1)

3y = x + 5

y = (x + 5)/3

Portanto, a função f(x) = 3x -5 terá inversa igual a f –1(x) = (x + 5)/3.

Exemplo 2

Dada a função f(x) = x² a sua inversa será:

Realizando a troca entre x e y na expressão y = x² → x = y², logo:

x = y²