Calculo Numérico, Ap. Unisa

APOSTILA DE CÁLCULO I

DERIVADA DE UMA FUNÇÃO REAL

Parte I

Profª. MSc. Adriana de Fátima Vilela Biscaro

Veremos nesta apostila que a DERIVADA, representa a inclinação de uma curva num ponto. Posteriormente, apresentaremos outras aplicações práticas, em diversos ramos da Física, Engenharia, Economia etc.

Exercícios:

1. Encontrar uma equação para a reta tangente à parábola y = x2 no ponto P(1,1).

2. Encontre a equação da reta tangente à curva y = 2x2 + 3 no ponto cuja abscissa é 2.

Como vimos na seção anterior, esse limite nos dá a inclinação da reta tangente à curva

y = f(x) no ponto (x0, f(x0). Portanto, geometricamente, a derivada da função y = f(x) no ponto x0, representa a inclinação da curva neste ponto.

O termo “derivada” é usado porque a função f’ deriva da função f por meio de um limite.

A DERIVADA DE UMA FUNÇÃO

Exercícios:

1. Encontre a derivada em relação a x de f(x) = x2 +1 e use-a para encontrar a equação da reta tangente a y = x2 +1 em x=2.

2. Dada f(x) = 5x2 + 6x -1, encontre f’ (2).

3. Dada , encontre f’(x).

4. Dada , encontre f’(4).

5. Determinar a equação da reta tangente às seguintes curvas, nos pontos indicados. Esboçar o gráfico em cada caso.

a) f(x) = x2 -1 ; x=0

b) f(x) = x2 – 3x + 6; x = -1

6. Dadas as funções f(x) = 5 – 2x e g(x) = 3x2 -1, determinar:

a) f’ (1) + g’(1)

b) 2f’(0) – g’(-2)

c) f(2) – f’(2)

d) [g’(0)]2 + 1/2g’(0) + g(0)

7. Usando a definição, determinar a derivada das seguintes funções:

a) f(x) = 1 – 4x2

b) f(x) = 2x2 – x -1

c) f(x) = 1/x+2

d) f(x) = 1-x/x+3

8. Dada a função f(x)= 2x2 – 3x -2, determinar os intervalos em que:

a)f’(x) >0 b) f’(x) <0

CONTINUIDADE DE FUNÇÕES DERIVÁVEIS

TEOREMA: Toda função derivável num ponto x1 é contínua nesse ponto

Prova: (i) f(x1) existe;

(ii) existe;

(iii) = f(x1)

Por hipótese, f(x) é derivável em x1. Logo f’ (x1) existe e, pela fórmula

Concluímos que f(x1) deve existir para que o limite tenha significado.

Exemplo:

Seja a função definida por

a) Mostre que f é contínua em 2.

b) Encontre f’+ (2) e f’-(2).

a) Esta função é contínua em 2.

De