Combinações Simples

1-Arranjos com repetição:

Seja C um conjunto com m elementos distintos e considere p elementos escolhidos neste conjunto em uma ordem determinada. Cada uma de tais escolhas é denominada um arranjo com repetição de m elementos tomados p a p. Acontece que existem m possibilidades para a colocação de cada elemento, logo, o número total de arranjos com repetição de m elementos escolhidos p a p é dado por mp. Indicamos isto por:

Fórmula: Arep(m,p) = mp

Exemplo: 4ｳ=64 é o número de arranjos com repetições a 3 elementos no conjunto {1,2,3,4.}

E também é igual ao número de distribuições de três objetos numerados de 1a 3 por três caixas distintas, numeradas de 1 a 4.

2- Permutação com repetições:

A cada um dos agrupamentos que podemos formar com certo número de elementos, onde ao menos um deles ocorre mais de uma vez, tal que a diferença entre um agrupamento e outro se dê pela mudança de posição entre seus elementos, damos o nome de permutação com elementos repetidos.

Fórmula: Se em um dado conjunto um elemento é repetido a vezes, outro elemento é repetido b vezes e assim sucessivamente, o número total de permutações que podemos obter é dada por:

Exemplos: Agora, como a palavra MATEMﾁTICA possui elementos que repetem, como a letra A que repete 3 vezes, a letra T repete 2 vezes e a letra M repete 2 vezes, assim a permutação entre si dessas repetições seria 3! . 2! . 2!. Portanto, a permutação da palavra MATEMﾁTICA será:

3-Combinações com repetição

Considere um conjunto de n elementos diferentes.

Denominamos de combinações com repetição de n elementos diferentes p a p é todo agrupamento  formado por p elementos iguais ou diferentes escolhidos entre os n elementos dados de modo que a ordem dos elementos não modifique a combinação.

Fórmula:O número de arranjos com repetição de n elementos p a p é representado por Crep (n,p).

Exemplos:

4-Números Binomiais

Para iniciar o estudo de números binomiais é necessário relembrar situações que envolvem produtos notáveis. Com base na expressão (x + y)n iremos calcular as expressões seguintes considerando n ? 3.

(x + y)0 = 1

(x + y)ｹ = x + y

(x + y)ｲ = xｲ + 2xy + yｲ

(x + y)ｳ = xｳ +3xｲy + 3xyｲ + yｳ

Com base no desenvolvimento das expressões onde n ? 3, podemos estabelecer uma relação para cálculos quando n > 3. Observe:

(x + y)4 = (x + y)(x + y)ｳ = (x + y)*( xｳ +3xｲy + 3xyｲ + yｳ)

x4 + 3xｳy + 3xｲyｲ + xyｳ + xyｳ + 3xｲyｲ + 3xyｳ + y4

x4 + 3xｳy + 6xｲyｲ + 2xyｳ + y4

De acordo com que n > 3, os cálculos começam a ficar mais complexos e trabalhosos. Para cálculos em que n assume valores elevados, usamos a definição do binômio de Newton, mas antes precisamos conhecer algumas técnicas para adentrarmos em tal conteúdo.

Podemos definir os coeficientes binomiais através da seguinte generalização:

com n Є N, m Є n e m ? n.

Triângulo de Pascal

Os