Conceitos básicos De Calculo Numérico

Passo 1:

Neste capítulo são apresentados os conceitos básicos que facilitarão o entendimento dos métodos numéricos. A maioria dos conceitos aqui são de algebra linear. Assim, maiores detalhes sobre os assunto abordados podem ser encontrados em livros de algebra linear .

Espaço Vetorial

Seja E um conjunto e seja K um corpo. Suponhamos que em E esteja definida uma operação de adição:

(x, y) ϵ E × E → x + y ϵ E ,ϵ

e que esteja definida uma operação entre os elementos de K e os elementos de E (chamada multiplicação por escalar):

(α, x) ϵ K × E ! αx ϵ E .

Então E é um K- espaço vetorial, em relação a essas operações, se tais condições forem cumpridas o conjunto será um espaço vetorial.

Seja E um K-espaço vetorial. Os vetores v1, v2, . . ., vk 2 E são linearmente dependentes

sobre K, se existem escalares α1, α2, . . . , αk 2 K, nem todos nulos, tais que:

α1 v1 + α2 v2 + . . . +αk vk = 0 .

Observamos que essa relação é sempre válida se os αi, i = 1, 2, . . ., k são todos iguais a zero. Nesse

caso dizemos que os vetores são linearmente independentes.

Um K-espaço vetorial tem dimensão n se:

a) existem n vetores linearmente independentes;

b) (n + 1) vetores são sempre linearmente dependentes.

Qualquer conjunto de n vetores linearmente independentes é chamado base de um

K-espaço vetorial de dimensão n.

Assim, qualquer vetor do espaço pode ser representado como combinação linear dos vetores da base.

Espaço Vetorial Euclidiano

Vamos definir aqui importantes noções de produto escalar e de ortogonalidade, visando introduzir,

entre outras coisas o conceito de comprimento e distância.

Ortogonalidade

Seja E um espaço euclidiano real. Sejam x, y elementos de E.

Definição 1.5 - Dizemos que x é ortogonal a y, em símbolo, x ┴ y, se e somente se (x, y) = 0.

Observe que (x, Θ) = (Θ, x) = 0 qualquer que seja x, onde Θ é o vetor nulo.

Espaço Vetorial Normado

Vamos definir agora importantes definições de norma de vetor e de matriz. Com isso estaremos aptos

a definir, quando oportuno, as noções de limite de uma sequência de vetores ou de matrizes, de grande utilidade, entre outros, no estudo de convergência de métodos iterativos de solução de sistemas lineares

e do problema de erros de arredondamento nos processos de cálculo onde intervém matrizes ou vetores.

Norma de Vetor

Definição 1.7 - Chama-se norma de um vetor x, em símbolo, k x k, qualquer função definida num

espaço vetorial E, com valores em IR , satisfazendo as seguintes condições:

N1) ∥ x ∥ ≥ 0 e ∥ x ∥ = 0 se e somente se x = _ ,

N2) ∥ ⋋ x k = |⋋| ∥ x k para todo escalar _

N3) ∥ x + y ∥ ≤ ∥ x ∥ + ∥ y ∥ (desigualdade triangular).

Um espaço vetorial E, onde está definida uma norma é chamado espaço vetorial normal

Projeção Ortogonal

Projeção Ortogonal de um Vetor sobre um Subespaço

Seja E um espaço euclidiano e seja E0, de dimensão finita n, um subespaço de E.

Seja v um vetor de E não pertencente a E0.

O problema que desejamos resolver agora ´e o de obter um vetor v0 ϵ E0 tal que v −v0 seja ortogonal

a todo vetor de E0.

Seja {e1, e2, . . ., en} uma base de E0. Como v0 2 E0, v0 pode ser escrito como combinação linear dos

vetores da base de E0, isto ´e:

v0 = 1 e1 + 2 e2 + . . . + n en . (1.17)

O nosso problema consiste em determinar, caso possível, as coordenadas 1, 2, . . ., n de v0.

Sabemos que se v −v0 deve ser ortogonal a todo vetor de E0 então ´e necessário e suficiente que v −v0

seja ortogonal a todo vetor de uma base de E0 (Teorema 1.2). Então, devemos ter:

(v − v0, ej) = 0 para j = 1, 2, . . . , n ; ou seja :

(v − (1 e1 + 2 e2 + . . . + n en) , ej) = 0 , j = 1, 2, . . . , n.

A aplicação de P2 e P3, fornece:

1 (e1, ej) + 2 (e2, ej) + . . . + n (en, ej) = (v, ej) , j = 1, . . . , n .

Tais equações são conhecidas por equações normais.

Passo 2:

1-Desafio A

LD(Afirmativa errada)

LI(Afirmativa correta)

LD(Afirmativa correta)

2-Desafio B

u = (4, 7, -1) e v = (3, 10, 11)

a . (4, 7, -1) + b . (3, 10, 11) = 0,0,0

(4a, 7a, -a) + (3b, 10b, 11b) = 0,0,0

4a + 3b = 0

7a + 10b = 0

-a + 11b = 0

1) -a + 11b = 0

-a = -11b (-1)

a = 11b

2)