Princípios E Conceitos básicos Do Calculo Numérico

Princípios e conceitos básicos do Calculo Numérico

As maiorias dos conceitos são de álgebra linear, isso se deve ao fato de que os resultados da álgebra linear, em geral, e da teoria dos espaços vetoriais, na análise numérica é tão grande, que o estudo, por menores que sejam, desses assuntos cada vez mais se justifica. Dentre estes conceitos, os mais “básicos” são os: Espaço Vetorial; Processo de Gram-Schmidt; Projeção Ortogonal; Autovalores e Autovetores.

Por definição, um espaço vetorial real é um conjunto V, não vazio, com duas operações: soma, V X V →V, e multiplicação por escalar, R X V→V, tais que, para quaisquer u, v, w ∈ e a, b ∈ R, as seguintes propriedades devem ser satisfeitas: I) (u+v)+w = u+(v+w); II) u+v = v+u; III) Existe 0 ∈ V tal que u + 0 = u; IV) Existe -u ∈ V tal que u + (-u) = 0; V) a(u+v) = au+av, a escalar; VI) (a+b)v = av+bv, a, b escalares; VII) (ab)V = a(bv); VIII) 1.u = u.

Já no método de Gram-Schmidt consiste em um algoritmo que permite construir a partir de uma família de m de vetores linearmente independentes v1,...,vm de um espaço vetorial V, com produto interno ( , ), uma nova família de m vetores, e1,..., em com a propriedade (ei,ej) = δij (lembrar que δij vale 0 se i j e vale 1 caso contrario).

As projeções ortogonais são transformações lineares que fazem corresponder um vetor dentro do espaço onde se esta projetando de tal forma que a diferença entre o vetor dado e a sua projeção seja um vetor ortogonal ao espaço onde se está projetando: Seja E um espaço vetorial com produto interno e V um subespaço, vamos denotar por P a projeção ortogonal em V. Devemos determinar Pu, para todo u ∈ E. Pela de definição u-Pu deve ser ortogonal a V.

E por fim os Autovalores são definidos por V um espaço vetorial de dimensão n sobre um corpo K, A uma matriz quadrada de ordem n e T:V→V uma transformação linear, definida para cada v ∈ V por: T(v) = A.v e os Autovetores são definidos por A uma matriz quadrada de ordem n sobre um corpo K. Se existe um escalar µ∈K e um vetor v 0 tal que: A.v = µ v, sendo que este escalar µ é denominado um autovalor de A e v é um autovetor associado a este escalar µ.