Cáculo III

Desafio

O petróleo (do latim petroleum, onde petrus = pedra e oleum= óleo) é um recurso natural abundante, definido como um composto de hidrocarboneto, oleoso, inflamável, geralmente menos denso que a água e que possui uma coloração que varia do incolor até o preto.

Na Antiguidade, era usado para fins medicinais e para lubrificação. Atribuíam-se ao petróleo propriedades laxantes, cicatrizantes e anti-sépticas. Atualmente, se configura a principal fonte de energia do planeta. Além de gerar gasolina, que serve

de combustível para grande parte dos automóveis que circulam no mundo, vários produtos são derivados do petróleo, como por exemplo, a parafina, o asfalto, querosene, solventes e óleo diesel.

O processo de extração do petróleo varia muito, de acordo com a profundidade em que o óleo se encontra, e pode estar nas primeiras camadas do solo ou até milhares de metros abaixo do nível do mar.

A empresa Petrofuels tem como principal atividade, a extração de petróleo no Brasil.

Para tanto, de tempo em tempo, são levantadas por geógrafos, agrônomos, paleontólogos, engenheiros e outros especialistas, regiões que apresentem maior probabilidade de se encontrar petróleo. Por meio de estudos com aviões sonda, satélites e de pequenos terremotos artificiais, essas regiões são selecionadas e se confirmada a presença de petróleo, inicia-se o projeto para extração do mesmo. Recentemente, a empresa Petrofuels descobriu gigantescas reservas na bacia de Santos.

O desafio geral desta ATPS propõe identificar qual é a quantidade total mensal de óleo que poderá ser extraído deste poço recém-descoberto.

Para tanto, quatorze desafios são propostos. Cada desafio, após ser devidamente

realizado, deverá ser associado a um número (0 a 9). Esses números, quando colocados lado a lado e na ordem de realização das etapas, fornecerão os algarismos que irão compor a quantidade total mensal de óleo que poderá ser extraído.

Objetivo do Desafio

Encontrar a quantidade total mensal de óleo, estimada pelos engenheiros da Petrofuels, que poderá ser extraído de um poço de petróleo recém descoberto.

ETAPA 1 – PASSO 1

Um pouco de história

As primeiras noções intuitivas sobre o cálculo de integração surgiram nas antigas civilizações da Ásia média, para solucionarem problemas geométricos tais como determinação de comprimento, áreas e volumes, onde suas soluções eram encontradas e associadas ao seu problema real, como a medição da quantidade de grãos.

Alguns filósofos gregos seguiram caminhos mais abstratos. Historicamente, Hipócrates de Chios (cerca de 440 a.C.), executou as primeiras quadraturas quando encontrou a área de certas regiões que se parecem com a lua próxima em seu quarto crescente. Antiphon (cerca de 430 a.C.) alegou que poderia "quadrar o círculo" (ou seja, encontrar a área de um círculo) com uma sequência infinita de polígonos regulares inscritos: primeiro um quadrado; segundo um octógono, a seguir um hexadecaedro, etc. O problema era encontrar o "etc.". Como a quadratura do círculo de Antiphon necessitava de um número infinito de polígonos, desse modo nunca terminaria esse ciclo, para a solução de seu problema, era necessário o conceito moderno de limite para terminar seu cálculo com exatidão matemática. Mas Antiphon sugeriu outra solução através do método de método de exaustão.

2000 anos depois, Eudoxo (cerca de 370 a.C.) desenvolveu uma solução mais prática para o método de exaustão: uma técnica de aproximação da área de uma região com um número crescente de polígonos, com aproximações melhores a cada etapa e a cada etapa, encontrava área exata sendo obtida depois de um número infinito destas etapas; esta técnica foi modificada para atacar cubagens de volumes.

Arquimedes (287 - 212 a.C.) usou o método de exaustão para encontrar a quadratura da parábola. Arquimedes aproximou a área com um número grande de triângulos construídos engenhosamente e então usou o argumento da redução ao absurdo dupla para provar o resultado rigorosamente e evitar qualquer metafísica do infinito. Para o círculo, Arquimedes primeiro mostrou que a área depende da circunferência; isto é muito fácil de verificar hoje em dia, uma vez que ambas as fórmulas dependem de p. Então Arquimedes aproximou a área do círculo de raio unitário usando polígonos regulares de 96 lados inscritos e circunscritos! Seu famoso resultado foi 310/71 < p < 31/7; mas como eram apenas aproximações, no sentido estrito, não eram quadraturas. De certa forma, a técnica encontrada por Arquimedes refinou o método de exaustão, assim quando existe um número infinito de aproximações poligonais, chamamos de método da compressão. O processo de Arquimedes para encontrar a área de um segmento de uma espiral era comprimir esta região entre setores de círculos inscritos e circunscritos: seu método de determinar o volume de um conóide (um sólido formado pela rotação de uma parábola ao redor de seu eixo) era comprimir este sólido entre cilindros inscritos e circunscritos. Em cada caso, a etapa final que estabelecia rigorosamente o resultado era o argumento da redução ao absurdo dupla.

Em seu trabalho, Arquimedes em um combinado de matemática e física, definiu valores indivisíveis para estimar o centro de gravidade de certas regiões bidimensionais e de certos sólidos tridimensionais. (Arquimedes percebeu que, por um lado, seus cálculos sugeriam a verdade em seus resultados, e por outro faltava uma lógica completa). Se considerarmos uma destas regiões sendo composta de um número infinito de retas, de comprimentos variados, então estas retas são chamadas de indivisíveis. Associando a composição de um sólido tridimensional, pode ser pensada como um número infinito de discos circulares, de raios variados, mas com espessura zero, então estes discos são conhecidos como indivisíveis.

Mulçumanos do século IX e X, estudiosos de Arquimedes, utilizaram o método de compressão para encontrar o volume do sólido formado pela rotação da parábola ao redor de uma reta perpendicular