Cálculo III

O Cálculo II

A matéria desenvolvida pelo Cálculo II tem por finalidade o estudo de variações instantâneas de funções e suas aplicações nos diversos ramos da matemática, física, química, economia e outras ciências. Tal estudo, tem por fundamento as considerações da transformação de funções no limítrofe da tendência de valores para a taxa de variação instantânea de determinada função quando a variação para o valor da variável independente “x” torna-se tão próxima de “0” quanto possível. Temos assim, de definição, a derivada.

O estudo de derivadas nos permite trabalhar com as diversas ciências exatas e humanas, na determinação de fatores de variação de desenvolvimento ou crescimento, como é popularmente utilizado na economia. Assim, por ela, podemos prever a ordem de dado sistema descrito por uma função com eficácia suficiente para garantir o menor erro possível, erro este, devido talvez à imprevisibilidade de determinados sistemas, assim, no caso da economia, a imprevisibilidade de mercado.

As técnicas de derivação, diferentes entre si para funções desiguais, fazem uso intensivo da álgebra e estudo de limite, logicamente. Mas de fato, qualquer aplicação de técnicas de derivação, poderia tão somente ser descrita pelo processo de cálculo de limite, processo base do estudo do cálculo, e também longo e dispendioso.

.

Etapa 1

Derivação em Aplicações da Física – Passo 1

O movimento dos corpos leva em sua estrutura a intrínseca relação entre o espaço desenvolvido pelo movimento em determinado período de tempo. Da análise da variação do espaço em relação a variação do tempo do movimento, obtemos a velocidade de tal movimento, sendo ela a taxa de variação sob a qual determinado corpo, executando determinado movimento, encontra-se num ponto do espaço em relação à outro ponto num lapso de tempo. Comumente utilizamos o conceito de velocidade média em cálculos do dia-a-dia, mas tal conceito não expressa a velocidade exata de um móvel em seu momentum, pois a velocidade média é apenas a média aritmética entre a velocidade de dois momentos do corpo, seu momento final e inicial. Assim, torna-se necessário, para maior rigor de exatidão da expressão velocidade, o cálculo do momentum de um corpo, a velocidade instantânea.

A velocidade instantânea é definida utilizando do limite da velocidade quando a variação de tempo para o respectivo movimento torna-se tão pequena quanto possível, tão próxima de zero quanto possível, obtendo, assim, a velocidade do corpo no exato momento de análise, lim┬(∆t→0)⁡〖∆S/∆t〗.

Desenvolvendo matematicamente, lim┬(∆t→0)⁡〖∆S/∆t〗 é expresso como lim┬(t→0)⁡〖(S_f-S_i)/(t_f-t_i )〗. Isso nos mostra o mesmo método utilizado para o cálculo da velocidade média, mas com a grande diferença da tendência de “t” à “0”. Assim, considerando S_f como S(t+h) e S_i como S(t), seus respectivos momentos são, (t+h) e t. Então, lim┬(h→0)⁡〖(S(t+h)-S(t))/((t+h)-t)〗 pode também ser reescrito como lim┬(h→0)⁡〖(S(+h)-S(t))/h〗. Temos, assim, que o limite da variação do espaço quando a variação do tempo se torna tão próxima de 0 é a velocidade instantânea do movimento, a taxa de variação do movimento em determinado ponto do gráfico, descrevendo seu momentum.

Agora, para exemplo do que já fora descrito sobre a matemática do movimento, esboçamos a análise de um movimento cuja origem pode ser desprezada, nos importando apenas sua relação matemática. Como de exemplo, determinamos que a aceleração do corpo é igual à 1 m/s^2, assim, temos um movimento descrito pela seguinte função espacial: S(t)=1/2 t^2+10t+10. Onde, pelos conceitos estudados em Física, temos que os valores 10t e 10, representam, respectivamente, a velocidade inicial do movimento e seu espaço inicial de movimento. Disso podemos determinar a velocidade instantânea do movimento do corpo, ou seja, a derivada primeira do movimento. Para tal:

(∂S(t))/∂t=(1/2 t^2+10t+10)/∂t