Derivada como uma taxa de variação

Derivada como uma taxa de variação

Interpretação Cinemática da derivada

Considere o movimento retilíneo dum corpo sólido.

A – material móvel (representação) S – distância percorrida s = f(t) = s(t)

t – tempo A0 – posição inicial

Durante o intervalo de tempo t, a grandeza s recebeu um

acréscimo s . S(t2) – S(t1) = S(t1 + t) – S(t1) = s

S(t1) S(t2) = S(t1+ t)

A0 A A1

t1 t

vm = (velocidade média – taxa média de variação (variação média) do espaço s (entre os instantes t1 e t1 + t) durante o intervalo de tempo t.

• A velocidade do movimento no instante t1.

(velocidade instantânea do movimento)

Exemplo: uma partícula move-se ao longo de uma linha de acordo com a equação

s(t) = -3t2 + 2t – 1. Determine: os intervalos de tempo quando a partícula se move para direita, para esquerda e o instante em que a partícula inverte o sentido do movimento.

v(t) = s’(t) = - 6t + 2 para direita < 1/3 para esquerda > 1/3 inverte o sentido t = 1/3

Taxa de Variação: A derivada como taxa de variação

Definição 1 : Se y = f(x) e se x varia de x1 a x1 + x, então y varia de f(x1) a f(x1 + x). Assim, a variação em y que podemos denotar por y será f(x1 + x) - f(x1), quando a variação de x for x. Então a taxa média de variação de y (a razão média de variação) por unidade de variação em x, quando x varia de x1 a x1 + x será

Se o limite deste quociente existir quando x tende a zero, este limite será o que intuitivamente consideremos de taxa variação instantânea de y por unidade de variação de x em x1.

(a derivada de y em relação a x em x1)

Definição 2 : A taxa de variação relativa de y por unidade de variação de x em x1 é dada por:

Exemplos:

1) Seja V um volume de um cubo de aresta a, determine:

a) a razão de variação média do volume por variação em cm do comprimento da aresta quando esta varia de 4 a 4,1 centímetros. R = 49,20cm2

b) a razão de variação instantânea do volume por variação de centímetro no comprimento da aresta, quando a = 4. R = 48 cm2

2) Qual a taxa média de variação da área de um círculo em relação ao raio, quando este varia de r a r + r ? Calcular esta taxa para r = 1,5 m e r = 5cm.

R = e

Taxas Relacionadas

Exemplo 1: Uma escada de 5m de altura está apoiada numa