Atps Calculo Derivada

ETAPA _ 1_ Aula-tema: A Derivada

Essa etapa é importante para que o aluno compreenda o conceito de derivada.

Para realizá-la, é importante seguir os passos descritos.

PASSOS

Passo 1 – Faça a leitura do capítulo 2 – seções 2.3 e 2.4 do PLT e demonstre o que representa a taxa de variação média de f e a taxa de variação instantânea de f, dê exemplos.

Passo 2 – Demonstre a regra da derivada da função constante e a regra da função potência, algebricamente.

Passo 3 – Leia o capítulo 2 – seção 2.5 do PLT e por meio de exemplos, faça a interpretação prática da derivada.

Passo 4 – Leia o capítulo 2 – seção 2.6 do PLT e elabore um texto, com explicações, sobre a derivada segunda. Não se esqueça de citar sobre concavidade.

ETAPA _ 2 _ Aula-tema: Técnicas de Diferenciação

Essa etapa é importante para que o aluno compreenda as regras da derivação e as suas aplicações. Para realizá-la, é importante seguir os passos descritos.

PASSOS

Passo 1 – Faça a leitura do capítulo 3 – seção 3.1 do PLT e enuncie a derivada da soma, a derivada da diferença, a derivada de polinômios, com dois exemplos cada.

Passo 2 – Faça a leitura do capítulo 3 – seção 3.2 do PLT, pesquise e enuncie a derivada da função exponencial e da função logarítmica. Dê 2 exemplos de cada.

Passo 3 – Pesquise sobre a derivada da função exponencial na base e (82,718) e elabore um texto explicativo.

Passo 4 – Faça a leitura do capítulo 3 – seção 3.3 do PLT e enuncie a regra do produto e a regra do quociente. Dê 2 exemplos cada.

Passo 5 – Faça a leitura do capítulo 3 – seção 3.4 do PLT e enuncie a regra cadeia. Dê 2 exemplos.

Em Cálculo, a regra da cadeia é uma fórmula para a derivada da função composta de duas funções.

Desenvolvida por Gottfried Leibniz, a regra da cadeia teve grande importância para o avanço do cálculo diferencial. Seu desenvolvimento foi devido à mudança de notação, ou seja, ao invés de usar a notação de Newton, Leibniz adotou uma notação referente à tangente, onde a derivada é dada pela diferença dos valores na ordenada dividida pela diferença dos valores na abssissa e onde essa diferença é infinitamente pequena (dy/dx).

A regra da cadeia afirma que

que em sua forma sucinta é escrita como: .

Alternativamente, na notação de Leibniz, a regra da cadeia é

Exemplos

Considere f(x) = (x2 + 1)3. Temos que f(x) = h(g(x)) onde g(x) = x2 + 1 e h(x) = x3. Então,

F´(x)= 3(x²+1)² (2x)

= 6x(x² + 1 )².

Passo 6 – Faça a leitura do capítulo 3 – seção 3.5 do PLT, pesquise e demonstre a derivada da função seno e a derivada da função cosseno.

O conceito da derivada:

Seja a função cosseno: f(x) = cos(x)

Do conceito da derivada temos:

Então:

Aqui temos em diferença de cossenos. Comparando com a fórmula de prostaférese ( I ) e fazendo as devidas substituições, obtemos:

Neste momento, x passa a ser uma constante. Fazemos uma troca de variável, onde:

Então se: Então:

Portanto:

Aplicando o limite de t, obtemos:

Portanto:

Conclusão: Se:

ETAPA _ 3 _ Aula-tema: Aplicações da Derivada

Essa etapa é importante para que o aluno saiba utilizar técnicas de cálculo, que se aplicam a uma grande variedade de problemas da vida real.

Para realizá-la, é importante seguir os passos descritos.

PASSOS

Passo 1 – Faça a leitura do capítulo 4 – seção 4.1 do PLT, pesquise e elabore um texto explicativo sobre máximos locais, mínimos locais e pontos de inflexão de uma determinada função:

Um ponto de inflexão ou simplesmente inflexão, é um ponto sobre uma curva na qual a curvatura (a derivada de segunda ordem) troca o sinal. A curva muda de ter curvatura côncava para cima (positiva) para concavidade para baixo (curvatura negativa), ou vice-versa. Pode-se comparar com a condução de um veículo ao longo de uma estrada sinuosa, no ponto de inflexão no qual o volante é momentaneamente "endireitado" quando virado da esquerda para a direita ou vice-versa.

Os valores máximo e mínimo de uma função são denominados extremos da função, e os pontos de máximo e de mínimo da função são denominados pontos de extremos da função.

Vimos também que, para obter pontos de máximo ou de mínimo de uma

função, basta construir o gráfico da função e identificar tais pontos. O

problema é a dificuldade em construir os gráficos de muitas funções, razão

pela qual, utilizamos as derivadas das funções para facilitar a nossa vida. Foi