Equações Diferenciais E Séries - Circuito RC

C E 6 CIRCUITOS ELÉTRICOS – CIRCUITOS DE PRIMEIRA E SEGUNDA ORDEM 1

CIRCUITOS ELÉTRICOS

CIRCUITOS DE PRIMEIRA E SEGUNDA ORDEM

CIRCUITOS RL E RC

O estudo de circuitos RL e RC mostra que a evolução da tensão ou corrente

no tempo, exige a resolução de uma equação diferencial de 1ª ordem da forma.

. ( ) ( )

( )

a x t f t

dt

dx t

+ = (1)

então x(t ) x (t ) x (t) p c = + é uma solução para equação diferencial acima.

O termo x (t) p é chamado de solução particular ou resposta forçada, e x (t) c é

chamada de solução complementar ou resposta natural.

Considerando que f(t) = A = constante, a solução geral diferencial consiste de

duas partes que são obtidas resolvendo-se as seguintes equações.

a x t A

dt

dx t

p

p + . ( ) =

( )

(2) e . ( ) 0

( )

+ a x t =

dt

dx t

c

c (3)

Sendo A constante, a solução x (t) p deve também ser constante, portanto

1 x (t) K p = . Substituindo esta constante na equação (2), tem-se

a

A

K = 1 .

Examinando a equação (3).

[ x t ] a

dt

d

a

x t

dt

dx t

c

c

c

= - ® ln ( ) = -

( )

( )

que implica em x t a t C c ln ( ) = - . + .

Logo a t

c x t K e .

2 ( ) = . - .

Portanto a solução da equação (1) é a t

p c K e

a

A

x t x t x t .

2 ( ) = ( ) + ( ) = + . -

A constante c T

a

=

1

é chamada de constante de tempo do circuito.

Uma propriedade interessante da função exponencial é mostrada na figura 1.

A cada constante de tempo Tc, o valor sofre uma queda de 63,2% do valor inicial.

Figura 1

Para efeitos práticos a resposta do circuito atinge o valor de regime

permanente em 5 constante de tempo (>5Tc).

C E 6 CIRCUITOS ELÉTRICOS – CIRCUITOS DE PRIMEIRA E SEGUNDA ORDEM 2

Para comprovação, estudaremos dois circuitos específicos e em função

destes iremos delinear um método para manipular esses circuitos em geral.

Considere o circuito mostrado na figura 2. No instante t = 0, a chave é

fechada.

Figura 2

A equação que descreve o circuito para t > 0 é ò + = s i t dt Ri t V

C

( ). . ( )

1

Derivando a equação em t, temos:

0

( ) ( )

+ =

dt

di t

R

C

i t

ou ( ) 0

( ) 1

+ i t =

dt RC

di t

cuja solução é da forma Tc

t

i t K e

-

( ) = . 2 , que

substituindo na equação diferencial de primeira ordem tem-se

K e T RC

T RC c

T

t

c

c = Þ = ÷ ÷

ø

ö

ç çè

æ

- +

-

. . 0

1 1

2 Portanto, a solução é RC

t

i t K e - ( ) = . 2

A constante K2 é escolhida para que a solução completa satisfaça as

condições particulares do circuito.

Examinando o circuito da figura 3 de maneira semelhante àquela empregada

para o circuito da figura 2, obtemos.

Figura