Geometria Analitica

1 – Para os vetores u = (2, 1, -2), e v = ( 0,-2, 4), determine o valor do vetor w que satisfaz a expressão vetorial: 3u –v -2w = 3. (u –w) +v:

3u –v -2w = 3. (u –w) +v

3u –v -2w = 3u -3w +v

3u –v -2w -3u +3w –v = 0

3u -3u –v –v -2w +3w = 0

-2v +w = 0

w = 2v

w = 2. (0, -2, 4)

w = (0, -4, 8)

2 – Determine n, para que os vetores (2, 3, -7) e (n, 4, 2) sejam ortogonais:

(2, 3, -7) . (n, 4, 2) = 0

2n + 12 + (-14) = 0

2n +12 -14 = 0

2n = 2

n = 1

3 – Determine o produto escalar entre u = (2, -1, 3) e v = (3, 0, -1):

u . v = (2. 3) + ( -1 .0) + (3 . -1)

u . v = 6 + 0 -3

u . v = 6 -3

u . v = 3

4 – Dados os pontos A (1, 4, -2) e B (2, -1, 4), determine o ponto P, de tal forma que AP = 3. AB:

AP = 3. AB

(Xp, Yp, Zp) – (1, 4, -2) = 3. (2, -1, 4) – (1, 4, -2)

(Xp, Yp, Zp) – (1, 4, -2) = (6, -3, 12) – (1, 4, -2)

(Xp, Yp, Zp) – (1, 4, -2) = (5, -7, 14)

(Xp, Yp, Zp) = (5, -7, 14) + (1, 4, -2)

(Xp, Yp, Zp) = (6, -3, 12)

P = (6, -3, 12)

5 – Verifique que o triângulo formado pelos pontos A (2,–1,4), B(1,2,1) e C(5,1,5) é retângulo. Para isso, escreva os vetores determinados pelos pontos AB, AC, e BC, e em seguida verifique qual par de vetores é perpendicular (caso seja), você terá encontrado os catetos do triângulo retângulo.

AB = B –A

AB = (1, 2, 1) – (2, -1, 4)

AB = (-1, 3, -3)

AC = C –A

AC= (5, 1, 5) – (1, 2, 1)

AC = (3, 2, 1)

BC = C –B

BC = (5, 1, 5) – (1, 2, 1)

BC = (4, -1, 4)

Nenhum deles é perpendicular.

A . B = (2.1) + (-1.2) + (4.1)

A . B = 2 -2 +4

A . B = 4

A . C = (2.5) + (-1.1) + (1.5)

A . C = 10 -1 +20

A . C = 29

B . C = (1.5) + (2.1) + (1.5)

B . C = 5 +2 +5

B