Geometria Analítica - Casos Particulares Da Equação Geral Do Plano

UNIVERSIDADE FEDERAL RURAL DO SEMI-ÁRIDO

UNIDADE SEDE

ALUNA: ANTÔNIA LARISSA DE OLIVEIRA SOUZA

PROFESSORA: FABIANE REGINA DA CUNHA DANTAS ARAÚJO

GEOMETRIA ANALÍTICA:

Pesquisa sobre os casos particulares da equação geral do plano.

Mossoró/RN

Julho/2014 

CASOS PARTICULARES DA EQUAÇÃO GERAL DO PLANO

Se um ou mais coeficientes na equação geral do plano forem nulos, o mesmo ocupará um posicionamento particular em relação aos eixos coordenados. Na equação ax+by+cz+d=0, se:

1º Caso

d=0 → ax+by+cz=0 (Com a, b, c ≠ 0)

Desta forma:

O ponto O=(0, 0, 0) verifica a equação ax+by+cz=0.

Se o termo independente for nulo, o plano conterá a origem.

2º Caso

a=0 → by+cz+d=0 (com b, c, d ≠ 0)

O plano é paralelo ao eixo x.

b=0 → ax+cz+d=0 (com a, c, d ≠ 0)

O plano é paralelo ao eixo y.

c=0 → ax+by+d=0 (com a, b, d ≠ 0)

O plano é paralelo ao eixo z.

No primeiro caso: o plano by+cz=0 contém a origem (pois d = 0) e é paralelo ao eixo x, pois tem como vetor normal o n ⃗ = (0, b, c). Da mesma forma acontece com os outros casos. Ou seja, o plano é sempre paralelo ao eixo da coordenada ausente.

3º Caso

a=d=0 → by+cz=0 (com b, c ≠ 0)

O plano conterá o eixo x.

b=d=0 → ax+cz=0 (com a, c ≠ 0)

O plano conterá o eixo y.

c=d=0 → cz+d=0 (com c, d ≠ 0)

O plano é paralelo ao plano xy.

No primeiro caso: O plano by+cz=0 é paralelo ao eixo x, além de conter a origem já que d=0, pois tem como vetor normal o n ⃗ = (0, b, c). Acontece da mesma forma com os outros casos.

4º Caso

a=b=0 → cz+d=0 (com c, d ≠ 0)

O plano é paralelo ao plano xy.

OBSERVAÇÃO:

Se cz+d=0 → z= (-d)/c → z=k (que representa um plano paralelo ao plano xy e intercepta o eixo z no ponto k). Em particular, z=0 é a equação do plano coordenado xy.