Interpolacao Polinomial: Lagrange E Newton

SUMÁRIO

1. TEMA 3

2. PROBLEMA 3

3. OBJETIVOS 4

3.1 Objetivo Geral 4

3.2 Objetivos Específicos 5

4. JUSTIFICATIVA 5

5. REVISÃO DE LITERATURA 6

6. METODOLOGIA 7

7. CRONOGRAMA 8

8. REFERÊNCIAS 8

1. TEMA

Interpolação polinomial: Métodos de Lagrange e Newton.

2. PROBLEMA

Dado ao avanço da tecnologia, gerou-se uma necessidade de melhorar todas as tarefas que sempre foram muito longas e cansativas, sendo o cálculo de interpolação, uma função y = f(x), em um conjunto discreto de pontos pertencentes a um intervalo (a, b), o cálculo consiste em substituir ou aproximar a função por uma outra y = g(x). Existe uma grande necessidade de utilizar este procedimento principalmente quando a função não é conhecida na sua forma analítica e sim por meio de um conjunto de pontos, ou mesmo quando é conhecida a sua forma analítica mas as operações de diferenciação e integração são extremamente difíceis ou impossíveis de realizar. Sendo assim surgiu a necessidade de criar um software capaz de realizar cálculos básicos e até mais complexos sobre interpolação, pelos métodos de Lagrange e Newton, afim de reduzir o número de erros de cálculos, e no nosso caso usando o software como um auxilio na execução dos cálculos, servindo como um método de tirar a prova ao nosso cálculo feito passo-a-passo.

A grande dificuldade para os alunos e professores ao calcular a interpolação no geral é o processo trabalhoso de calcular passo a passo a manuscrito. Por exemplo no método de Newton para calcular as diferenças divididas existem muitos detalhes, que por alguma falha ou calculo mal feito abrange toda equação, já no método de Lagrange quando e necessário fazer varias interpolações, este método fica com uma quantidade de cálculos excessiva, quando um novo termo é adicionado é necessário recalcular todos os valores repetindo o mesmo processo. Mais o software a ser implementado também tem chances de errar, mais essas possíveis chances são bem mínimas que surgem talvez por um erro ao programar o software.

De acordo com os problemas vistos, surgiram as seguintes questões:

Um aluno que aprende o cálculo de interpolação, seria capaz de resolver qualquer exercício deste tipo?

Acredita-se que sim, porém existem funções com demasiadas incógnitas que provavelmente tornariam a resolução do exercício em algo muito exaustivo, então é aí que entra mais uma vez a função do nosso software.

A pratica de uso de programas ou estruturas de desenvolvimento de cálculos como auxilio acadêmico e também profissional, já é exercida a muito tempo. A questão é, será que esse software é bem vindo nas instituições de ensino?

Analisando a formação, podemos concluir que não são bem recebidos pelos professores.

3. OBJETIVOS

O objetivo deste capitulo da matemática é descrever a técnica, chamada de Interpolação de Lagrange e Interpolação de Newton , uma delas desenvolvida por Joseph L. Lagrange ( 1736-1813), um dos primeiros matemáticos a demonstrar o Teorema do Valor Médio e um dos fundadores do Cálculo das Variações, para resolver este problema, e a outra por Isaac Newton que foi físico e matemático, que em 1687 publicou a sua obra "Philosophiae Naturalis Principia Mathematica" que descreve a "Lei da Gravitação Universal e as três leis de Newton. Com base nesses dois métodos de interpolação o objetivo é de se criar um software para calcular equações com os dois métodos e até o erro de truncamento e resultar a tabelas preenchidas com resultados obtidos dos cálculos já feitos pelo software.

3.1 Objetivo Geral

O objetivo fundamental em estudar os métodos de interpolação de Isaac Newton e Joseph-Louis Lagrange é de aprofundar a compreensão dos mecanismos de funcionamento da interpolação, averiguar a porcentagem de erro (se houver) caso seja suprimido um dado em meio da serie interpolada. Ela também pode ser efetuada em uma tabela com uma progressão não uniforme e outra uniforme.

O software a ser desenvolvido terá o objetivo de facilitar na resolução dos exercícios de interpolação tanto de Lagrange como de Newton, e dando assim menos processos trabalhosos e segurança na resolução.

3.2 Objetivos Específicos

Obter valores do polinômio de aproximação da derivada, calcular a diferença dividida e achar o erro de truncamento, reais ou não de uma série, resultando em tabelas através de um software, beneficiando assim o professor e o acadêmico a evitarem inúmeros cálculos.

4. JUSTIFICATIVA

A Interpolação de Lagrange e Interpolação de Newton, são dois métodos matemáticos que serão calculados num software a fins de tenta simplificar o processo de interpolação, ao invés de utilizar cálculo com matrizes, utiliza-se os métodos de Lagrange e Newton.

A formula de Newton para calcular a diferença dividida é a seguinte: Pn(x) = y0 + (x-x0) . P[x0-x1] + (x-x0) . (x-x1) . P[x0,x1,x2] + (x-x0) . (x-x1) . (x-x2) . P[x0,x1,x2,x3] + (x-x0) . (x-x1) . (x-x2) . (x-x3) . P[x0,x1,x2,x3,x4]…… A cada termo, os pontos base aparecem subtraídos do valor a ser interpolado, aumentando-se um ponto a cada termo.

Demonstra-se uma vantagem do Método de Newton que tem relação aos demais, para aumentar o grau do polinômio interpolado, basta aumentar um novo termo em vez de montar todo o polinômio novamente, como no método de Lagrange.

A formula de Lagrange para calcular polinômio de aproximação e o erro de truncamento são as seguintes:

pn(X) = y0Lo(X) + y1L1(X) + ... ynLn(X) é a de Lagrange e a do erro de truncamento é: Et(x) = (x-x0) . (x-x1)…….. (x-xn) . f^(n+1) (Ex) / (n+1)!

A função Pn é um polinômio de grau menor ou igual a n que verifica as condi_coes de interpolação, o que prova a existência de solução do problema