KINEMATICS

FACULDADE ANHANGUERA DE JOINVILLE – UNIDADE 2

CURSO SUPERIOR DE ENGENHARIA MECÂNICA – 3ª FASE

CÁLCULO 2

ATPS ETAPAS 1 E 2

CARLOS SMAKA

Joinville - SC

1º Semestre/2014

1.INTRODUÇÃO

Neste trabalho começaremos na etapa 1 a estudar o conceito de velocidade instantânea e aceleração instantânea, estaremos aplicando a derivada nas equações do espaço e da velocidade e mostraremos como a matemática está ligada a física. Iremos terminar na etapa 2 com um aprofundamento na constante de Euler, que trata-se de um número irracional conhecido como “℮”, em homenagem ao grande matemático suíço Leonhard Euler (1707-1783). Essa constante tem uma relação muito grande com a música e com uma PG.

2.DERIVÇÃO: CINEMÁTICA

2.1 Velocidade instantânea.

A velocidade instantânea é definida como o limite da relação entre o espaço percorrido em um intervalo de tempo, onde este último tende a zero. Quando se considera um intervalo de tempo que não tende a 0, a velocidade é considerada média. A velocidade instantânea pode ser entendida como a velocidade de um corpo no exato instante escolhido. No movimento retilíneo uniforme, a velocidade instantânea coincide com a média em todos os instantes.

Temos uma motocicleta que percorre uma trajetória contendo 50m em 30s, assim nós teremos os dados de espaço e tempo, com esses dados conseguiremos definir a velocidade média, ou seja, haverá momentos em que a motocicleta percorrerá a distância com maior ou menos velocidade. Para conseguirmos a velocidade mais precisa possível em um determinado ponto, necessita-se diminuir ao máximo o intervalo de tempo, daí tira-se o que chamamos de velocidade instantânea.

A velocidade instantânea é igual ao valor limite de velocidades médias em intervalos de tempo cada vez menores.

O limite (lim) define a derivada da posição em relação ao tempo, ou seja, a velocidade instantânea num dado instante é a derivada com relação ao tempo da função que descreve a posição da partícula neste dado instante. Logo, a velocidade instantânea num dado instante t0 é expressa por:

Exemplo da função velocidade como derivada da função espaço ∑ do ultimo algarismo dos RA´s = 23 Aceleração

t=5s V0=0m/s a=23m/s²

V=0+23*5

V=115m/s

2.2 Gráficos da velocidade x tempo e espaço x tempo

Velocidade pelo tempo: t=0 a 5s V0=0m/s a=23m/s²

V=0+23*0 → V=0m/s

V=0+23*1 → V=23m/s

V=0+23*2 → V=46m/s

V=0+23*3 → V=69m/s

V=0+23*4 → V=92m/s

V=0+23*5 → V=115m/s

Espaço pelo tempo: t=0 a 5s V0=0m/s a=23m/s²

S=0+0*0+(23*0²)/2 → S=0m

S=0+0*1+(23*1²)/2 → S=11,5m

S=0+0*2+(23*2²)/2 → S=46m

S=0+0*3+(23*3²)/2 → S=103,5m

S=0+0*4+(23*4²)/2 → S=184m

S=0+0*5+(23*5²)/ 2 → S=287,5m

Função Linear Crescente

Variação de velocidade percorrida V=115-0 V=115m/s

Variação do espaço percorrido S= 287,5-0 S=287,5m

Área formada pela função

A= (5s*115m/s)/2

A= 287,5 m²

2.3 Aceleração instantânea

A aceleração de uma partícula em qualquer instante é a taxa na qual sua velocidade está alterando naquele instante. A aceleração instantânea é a derivada da velocidade em relação ao tempo: a = dv/dt. Temos que a velocidade existe somente quando existe uma variação de espaço, então, um corpo parado não tem velocidade, pois não há variação de espaço percorrido; esse mesmo conceito também é valido para aceleração, porém teremos que trocar os dados, a aceleração existirá se houver variação de velocidade, um corpo com velocidade constante não possui aceleração. Vamos derivar a equação da velocidade instantânea para obter a aceleração instantânea.

Podemos observar que a derivada da velocidade instantânea resulta direto na aceleração.

2.4 Gráfico de aceleração x tempo

Tempo 0 a = 0 m/s² Tempo 1 a = 23 m/s²

Tempo 2 a = 23 m/s² Tempo 3 a = 23 m/s²

Tempo 4 = a 23m/s² Tempo 5 a = 23 m/s²

Função Linear Constante após t=1s

Área formada pela função

A triângulo = (1s*23m/s²)/2 = 11,5 m²

A retângulo = (4s*23m/s²) = 92 m²

A triângulo + A retângulo = 11,5 + 92 = 103,5 m²

Observa-se que área formada pela função aceleração é bem próxima ao valor da variação de velocidade obtida no passo 2.

3.