KINEMATICS DE PARTÍCULAS

CINEMÁTICA DA PARTÍCULA

1.1 CONSIDERAÇÕES GERAIS

O objetivo principal da disciplina de Mecânica II é instruir e desenvolver-nos alunos a capacidade para resolver problemas de dinâmica dos sistemas de partículas (ou sistemas de pontos materiais) e dos corpos rígidos.

A dinâmica pode ser interpretada através de dois tipos de problemas:

− Cinemática: é uma descrição matemática do movimento dos corpos independentemente das causas que o originam e da inércia que tem.

− Cinética: estuda as leis do movimento de corpos quando submetidos à ação de forças.

Por movimento entende-se o deslocamento de um corpo no espaço e no tempo. Esse movimento é cinematicamente conhecido quando em qualquer instante for possível caracterizar: a posição, a velocidade e a aceleração em todos os seus pontos ou partes constituintes.

Estando a noção de movimento associada à noção das variações das posições dos corpos de instante para instante relativamente a pontos considerados fixo, o conceito de movimento é essencialmente relativo, pois depende do referencial considerado. Exemplo: O condutor de um automóvel em movimento permanece sempre na mesma posição se o referencial considerado for o assento, mas muda de posição de instante para instante se o referencial for a Terra. Em Mecânica utiliza-se essencialmente o espaço euclidiano tridimensional, podendo, no entanto, em alguns casos, recorrer à geometria não euclidiana, como é o caso das coordenadas cilíndricas e esféricas (não cartesianas).

Na Mecânica II consideram-se válidas as hipóteses fundamentais da mecânica racional de Newton:

− o espaço tem três dimensões e é absoluto e imutável;

− o tempo também é absoluto e imutável.

Esta hipótese é válida para os problemas de Engenharia Civil, mas não serve para a Engenharia Aeroespacial Intergaláctica, onde será necessário utilizar os conceitos da Mecânica Einsteiniana relativista. Portanto, nos problemas que irão ser abordados, o tempo é a variável independente, sendo todas as outras variáveis e características expressas à custa dele.

Nos problemas que serão estudados, existirá sempre uma origem espacial euclidiana e uma origem temporal cronológica. Numa primeira parte irá ser abordada a cinemática da partícula (ou do ponto material). O termo partícula não significa que o estudo está limitado a corpúsculos; indica sim, que, os corpos em movimento – que podem ser tão grandes como automóveis, foguetes, aviões ou planetas – são considerados sem olhar à sua dimensão. Isto é, a sua dimensão é desprezível em comparação com a amplitude do seu movimento. Neste caso, o corpo é entendido como um todo, não se considerando qualquer rotação em torno do seu centro de massa. Nos casos em que não se pode alhear dessa rotação, os corpos não podem ser considerados como partículas e terão de ser considerados como corpos rígidos. Exemplo: Os planetas do sistema solar podem ser considerados como partículas quando se estuda o seu movimento em torno do Sol, mas não podem ser assim considerados quando se estuda o seu movimento em torno do seu eixo de rotação.

1.2 DESCRIÇÕES DO MOVIMENTO

O movimento da partícula pode ser descrito de duas maneiras (embora equivalentes):

− através do vetor posição, r(t) r;

− através das equações cartesianas obtidas da trajetória da lei horária do movimento sobre a trajetória, s = s(t).

Descrição do movimento através do vetor posição, r(t) r

– Vetor posição, r (t) r: É o vetor que une o ponto O (considerado fixo) com o ponto P no instante t.

– Trajetória: É o lugar geométrico das sucessivas posições do ponto P ao escrever o seu movimento.

Obs.: , , → versores (vetores unitários) do referencial cartesiano O x,y,z. Figura 1 - Definição de vetor posição, r (t) r . O vetor posição, r (t) r, é escrito em função das três direções coordenada, respectivamente, Ox, Oy e Oz:

= +y(t) +z(t)

Portanto, as componentes cartesianas do vetor posição (ou seja, as equações paramétricas da trajetória) são:

Descrição do movimento através da trajetória e da lei horária

Para se caracterizar completamente o movimento de uma partícula é necessário conhecer não só a sua trajetória, mas também o modo como essa partícula se desloca ao longo da trajetória, isto é, a lei horária do movimento.

Sendo s a abscissa curvilínea (medida sobre a trajetória) a posição do ponto P,

no instante t, será dada pela Equação cartesiana da trajetória:

E pela;

– Lei horária do movimento:

s = s(t)

Equivalência ou dualidade das duas descrições de movimento

Dado o vetor posição, , determinar a trajetória e a lei horária. Dado o vetor posição +y(t) x +z(t) , obtém-se as equações paramétricas da trajetória:

Por eliminação do parâmetro t nestas equações, obtém-se a equação cartesiana da trajetória:

Para obter a lei horária considerem-se dois instantes sucessivos separados por um intervalo de tempo Δt.

Seja Δs o arco entretanto percorrido e Δr a corda correspondente.

Então:

Δr2 = Δr2xy +Δz2 e

Δr2xy = Δr2xy +Δz2

ou seja,

Δr2 =Δx2 +Δy2 +Δz2

Quando o intervalo de tempo infinitesimal, Δt, tende para zero (Δt→0)