MODELOS MATEMÁTICOS E EQUAÇÕES DIFERENCIAS
Trabalho acadêmico: MODELOS MATEMÁTICOS E EQUAÇÕES DIFERENCIAS. Pesquise 861.000+ trabalhos acadêmicosPor: Fogaca14 • 4/11/2014 • Trabalho acadêmico • 7.877 Palavras (32 Páginas) • 198 Visualizações
SUMÁRIO
1 INTRODUÇÃO 3
2 INTEGRAIS 4
2.1 Tabela de integrais 4
2.2 Definição de equações diferenciasi 5
3 MODELOS MATEMÁTICOS E EQUAÇÕES DIFERENCIAIS 6
3.1 Formação da camada de gelo 6
3.2 Gastos de uma companhia Desenvolvimento do estudo 7
3.3 Circuito Elétrico 8
3.4 A Lei de Newton de aquecimento e resfriamento 9
3.5 Custo e Custo marginal 10
REFERÊNCIAS..........................................................................................................11
1 INTRODUÇÃO
Este trabalho tem como objetivo conceituar a equação diferencial através de exemplos e demonstrar a relação entre modelos matemáticos e equações diferenciais.
2 INTEGRAIS
2.1 Tabela de Integrais
1- ʃ xm dx= xm+1 / m+1+ C, m ≠ - 1
2- ʃKdx = kx + C, K ϵ R
3- ʃ(f ± g) dx = ʃ fdx ± ʃgdx
4- ʃ cos (u) =sen (u) + C
5- ʃ-sen (u)du = cos (u) + C ou ʃ sen (u) Du = -cos(u) + C
6- ʃ sec2(u) du = tg (u) + C
7- ʃcsc2 (u)du = - cot g (u) + C
8- ʃsec (u) tg (u)du = sec (u) + C
9- ʃcsc (u)cot g(u)du = -csc (u) + C
10- y = e =>y’ = eu.u’
11- y = sen u =>y’=u’cos u
12- y = cos u =>y’ = - u’ sen u
13- ʃcos 8x = 1/8 sen 8x + C
14- ʃdu/u = ln u + C
2.2 Definição de equações diferencias
Muitas vezes em física, engenharia e outros ramos técnicos, há necessidade de encontrar uma função incógnita.
Em muitos casos esta pesquisa leva a uma equação envolvendo derivadas ( ou diferenciais) da função incógnita. Tais equações envolvendo derivadas (ou diferenciais) são chamadas equações diferenciais, em que a incógnita não é um número, mas uma função.
A equação que dá informação sobre a taxa de variação de uma função desconhecida, é a equação diferencial.
3 MODELOS MATEMÁTICOS E EQUAÇÕES DIFERENCIAIS
3.1 Formação do gelo
Quando se forma um gelo em um lago, a primeira parte que congela é a superfície. À medida que o calor da água se move para cima através do gelo e se perde no ar, forma-se mais gelos.
Qual seria a espessura da camada de gelo em função do tempo? Como a espessura da camada aumenta com o passar do tempo, ela será uma função crescente. Além disso, à medida que o gelo vai ficando mais espesso, ele isola melhor e, portanto, é de se esperar que a camada vá se formando mais devagar à medida que o tempo passa. Consequentemente a função espessura é crescente, mas com uma taxa decrescente e convexa.
Suponha que y represente a espessura do gelo como função do tempo, t. Como quanto mais espesso é o gelo, mais tempo é necessário para que o calor atravesse, vamos supor que taxa segundo a qual o gelo se forma seja inversamente proporcional à espessura. Assim, vamos supor que existe uma constante k tal que
Taxa de crescimento = k ,
da espessura Espessura
de modo que dy = k onde k > 0.
dt y
Esta equação diferencial permite encontrar uma fórmula para y. Usando separação de variáveis:
ʃ ydy = ʃ kdt
y2 = kt + C
2
Se medirmos o tempo de modo y = 0 quando t = 0, obtemos C = 0. Como y deve ser não-negativo, segue que y = Ѵ2kt
Se plotarmos num gráfico como segue abaixo, y em função de t, é possível observar que quanto maior y, mais devagar ele cresce. Além disso sugere que y cresce indefinidamente à medida que o tempo passa, sendo que o valor de y não pode exceder a profundidade do lago.
y (espessura) k grande
y =Ѵ 2kt
k pequeno
t(tempo)
3.2 Gastos de uma companhia
Vamos considerar uma companhia cuja receita é proporcional ao valor de uma companhia ( como os juros no caso da conta bancária), mas que também deve fazer pagamentos aos empregados. A pergunta é: em que circunstâncias a companhia tem lucros e em que circunstâncias ela vai à falência?
A instituição diz que se a folha de pagamentos excede a taxa segundo a qual
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