Matemática Para Engenheiros

MATEMÁTICA PARA ENGENHEIROS

1a Lista de Exercícios

1. Considere os vetores u=(1,-2,1) e v=(3,1,-4). Calcule u+v, u-v, 2u, -1/2v e –u+2v.

Sol: (4,-1,-3), (-2,-3,5), (2,-4,2), (-3/2,-1/2,2), (5,4,-9).

2. Seja u=(1,-2,1). Calcule |u| e os ângulos 1, 2 e 3 em relação aos eixos x, y e z.

Sol: , 65o54', 144o44' e 65o54'.

3. Sejam u=(2,0,-3) e v=(-1,4,5). Calcule o cosseno do ângulo entre os dois vetores. Mostre que onde  é o ângulo entre os dois vetores e i e i são os ângulos que os vetores u e v formam com os eixos x, y e z.

Sol: .

4. Considere um vetor u, diferente de zero, e um vetor v. Mostre que a projeção de v na direção de u é dada por .

5. Mostre que a distância mínima do ponto (x1,y1,z1) até o plano representado por ax+by+cz=d é dada por .

6. Desenvolva uma equação para a linha que passa pelos pontos (3,-5,7) e (-2,1,4).

Sol: (x,y,z)=(3,-5,7)+t(-5,6,-3) , -<t<.

7. Encontre uma representação para o plano que passa pelos pontos (1,-3,4), (2,5,-1) e (0,7,-4).

Sol: 14x-13y-18z=-19.

8. Mostre que os vetores (1,0,1), (0,1,1) e (1,-1,1) são independentes no campo tridimensional R3.

9. Mostre que os vetores (1,1,1), (1,-1,1) e (2,0,4) formam uma base em R3. Encontre as coordenadas de (4,5,6) em relação a esta base.

Sol: (7/2,-3/2,1).

10. Mostre que os vetores (1,1,1,1), (0,1,0,1), (1,0,2,0) são independentes em R4. Construa uma base em R4 contendo estes três vetores.

Sol: (1,1,1,1), (0,1,0,1), (1,0,2,0) e (0,1,0,-1).

11. Prove que .

12. Mostre que u(vw)=w(uv)=v(wu).

13. Mostre que u(wv)=-u(vw). Se for possível, use um programa como o Maple para resolver este problema.

14. Descreva um fenômeno físico, na sua área de pesquisa, que contenha grandezas vetoriais e mostre o desenvolvimento da equação (ou equações) que representa este fenômeno e que envolve o uso de vetores. Não repita os exemplos dados em aula.