Regra De Sinal De Descartes

Enumeração de Raízes de uma Equação Polinomial

Enumerar as raízes de um polinômio p(x) consiste em dizermos quantas raízes o polinômio possui e de que tipo elas são.

Regra de Sinal de Descartes - O número de raízes positivas de uma equação polinomial p(x) com coeficientes reais, nunca é maior que o número de trocas de sinal T na sequência de seus coeficientes não nulos, e se é menor, então é sempre por um número par.

Exemplos:

Exemplo 1: tome o polinômio p(x) = x³ + 2x² - 3x - 5, o qual apresenta a sequência de sinais (+; +; -; -). Logo, segundo o Teorema, T ‘ = 1 e pode-se afirmar com exatidão que p(x) tem uma raiz positiva já que ele não pode ter um número negativo de raízes.

Observação: A mesma regra acima pode ser aplicada para a enumeração das raízes reais e negativas de p(x), calculando-se p(-x), pois as raízes positivas:

p(-x) = - x³ + 2x² + 3x – 5

Se referem ás raízes negativas de p(x). Notando que a sequência de sinais de p(x) é (- ; +; +; -), concluímos que T’ = 2 e daí deduzimos que p(x) pode ter duas ou zero raízes negativas. Tomando como base as deduções de que p(x) tem uma raiz positiva e duas ou nenhuma raiz negativa, podemos deduzir que:

• Se p(x) tiver duas raízes negativas, então não terá nenhuma raiz complexa. Se, contudo, não tiver raízes negativas, então terá duas complexas.

• É bom lembrar que, se um polinômio tem todos os coeficientes reais e se houver uma raíz complexa, então sua conjugada, também será raiz do polinômio.

Exemplo 2: Em P(x) = + x³ - 4x² - x + 6 = 0, há 2 variações de sinal na sequência dos coeficientes. Portanto, há 2 raízes positivas ou nenhuma (n+ = 2 ou 0).

Para determinarmos o número de raízes negativas de P(x) = 0, denotado por

n-, basta trocarmos x por -x e calcularmos o número de raízes positivas de

P(-x) = 0, o qual será o número de raízes negativas de P(x) = 0.

Para o exemplo anterior, em P(-x) = (-x)³- 4(-x)² - (-x) + 6 = - x³- 4x² +x +6 = 0 há uma troca de sinal. Logo, n- = 1.

Exemplo 3: P(x) = x^4 - 2x³ - 7x² + 8x + 12 = 0

Solução:

n+ = 2 ou 0

P(-x) = (-x)^4 - 2(-x)³ - 7(-x)² + 8(-x) + 12 = 0

P(-x) = x^4 + 2x³ - 7x² - 8x + 12 = 0

n- = 2 ou 0

Exemplo 4: P(x) = x^4 - 8x³ + 16x² - 8x + 15 = 0

Solução:

n+ = 4 ou 2 ou 0

P(-x) = (-x)^4 - 8(-x)³ + 16(-x)² - 8(-x) + 15 = 0

P(-x) = x^4 + 8x³ + 16x² + 8x + 15 = 0

n- = 0

Exemplo 5: P(x) = x² + 4x + 4 = 0

Solução:

n+ = 0

P(-x) = (-x)² + 4(-x) + 4 = 0

P(-x)