Qualidade De Vida

1) Determine os valores de x e y que tornam A e B o mesmo ponto:

a) A(1+ x, y – 2x + 2) e B (-3, -1 + 3y) b) A(x – y – 3, x + y – 3) e B(2x, 3y)

Solução. Os pontos serão os mesmos se suas respectivas abscissas e ordenadas o forem.

a) .

b) .

2) dados os pontos A(1, 2) e C(2, 6), determinar as coordenadas de um ponto B (sobre a reta que contém AC), tal que .

Solução. Expressando a distância entre os pontos indicados na forma de razão, temos:

.

3) Seja o triângulo ABC, A(0,0), B(4,2) e C(6,4). Determine o valor da base média relativa ao lado AB.

Solução. A base média une os pontos médios dos lados. Logo, M e N são pontos médios de BC e AC, respectivamente. Temos:

i)

ii)

4) Sejam os pontos A(1,3) e C(2,5). Determine as coordenadas de um ponto B tal que B divida o segmento AC nas seguintes proporções: a) b) c)

Solução. Expressando a distância entre os pontos indicados na forma de razão, em cada caso, temos:

a) .

b) .

c) .

5) Calcule as coordenadas do C no segmento AB com A(1,3) e B(2,5), tal que .

Solução. Escrevendo a equação com a expressão das distâncias, temos:

.

6) (FGV) Os pontos (1, 3), (2,7) e (4, K) do plano estão alinhados se e somente se:

a) K = 11 b) K = 12 c) K = 13 d) K = 14 e) K = 15

Solução. Organizando o determinante e verificando a condição de alinhamento, temos:

.

7) Os pontos A(-1, 2), B(3,1) e C(a, b) são colineares. Para que C esteja sobre o eixo das abscissas, a e b devem ser, respectivamente iguais a:

a) 0 e 4 b) 0 e 7 c) 4 e 0 d) 7 e 0 e) 0 e 0

Solução. O ponto C sobre o eixo das abscissas deverá possuir ordenada nula. Isto é b = 0. Logo, as coordenadas de C são da forma C(a, 0). Se os pontos são colineares, temos:

.

8) Ache as coordenadas do baricentro do triângulo ABC.

b)

Solução. As coordenadas são a média aritmética das abscissas e das ordenadas: .

9) Em um triângulo ABC, A(4,2) é um vértice, B(-3,2) outro vértice e G(1,1) é o baricentro. Então, o terceiro vértice de triângulo ABC é:

a) (2,-1) b) (1.5,0) c) (3,-3) d) (-1,-2) e) (5,0)

Solução. Seja C(x, y) o outro vértice. Calculando a média aritmética das coordenadas, temos:

.

10) No plano cartesiano, os pontos (1,0) e (-1,0) são vértices de um quadrado cujo centro é a origem. Qual a área do quadrado?

a) 1. b) 2. c) 3. d) 4. e) 5.

Solução. Observe a figura e veja que a diagonal do quadrado é a distância de (-1,0) a (1,0) que vale 2. Aplicando a fórmula da diagonal e calculando o lado e área, temos:

.

11) Se o triângulo de vértices nos pontos P1(0,0), P2(3,1) e P3(2, K) é retângulo, com o ângulo de vértice P2 reto. Então, K é igual a:

a) 5 b) 6 c) 3 d) 4 e) 8

Solução. Se o vértice P2 é reto, então o lado oposto a ele, P1P3, é a hipotenusa. Calculando as distâncias entre os vértices e aplicando a relação de Pitágoras para o triângulo retângulo, temos:

.

12) Dois vértices de um triângulo ABC são os pontos A(2,-1) e B(5,3), e o seu baricentro é o ponto G(1,3). Podemos afirmar que o comprimento da mediana, relativa ao vértice C, mede:

a)

Solução. A mediana será a distância do vértice C ao ponto médio de AB. Seja C(x, y) o terceiro vértice.

i) .

ii) .

iii) .

13) Considere o triângulo de vértices (-1,4), (-2,0) e (1, y). Se a área do triângulo é 9u.a., então o valor de y é:

a) 6 b) – 30 c) 6 ou 30 d) – 6 ou 30 e) 6 ou - 30

Solução. Utilizando a fórmula da área do triângulo expresso em pontos, temos:

.

14) No triângulo ABC, os pontos médios dos lados AC e BC são, respectivamente, M(-2,6) e N(4,-2). Podemos afirmar que a medida do lado AB, é:

a) 10 b) 20 c) 19 d) 11 e) 12

Solução. O segmento MN une os pontos médios de AC e BC. Da Geometria Plana é conhecido que há a relação: . O lado BC mede o dobro do segmento MN. Calculando a distância entre os pontos M e N, temos: