Calculo 2

FACULDADE ANHANGUERA DE TAUBATÉ

ENGENHARIA CIVIL

ATIVIDADE PRÁTICA SUPERVISIONADA

Cálculo II

ETAPA 1

Passo 1

O conceito da velocidade num T com a derivada da função posição s. No intervalo entre os instantes T e t, temos que a velocidade média é dada pela proporção

Onde Δ s = s (t) – s (T) é a variação do espaço e Δ t = t – T é a variação do tempo entre estes instantes. Geometricamente, a velocidade média é um quociente de Newton da função posição s (t). A velocidade v no instante T é por definição o limite da velocidade média entre os instantes T e t, quando t tende a T, ou seja,

Este limite nos lembra algo visto anteriormente em física; a velocidade no instante T é de fato a derivada da função posição no instante T, uma vez que

Geometricamente, temos que a velocidade no instante T é a inclinação da reta tangente à função posição no ponto T.

Exemplo:

a = 0 + 8 + 0 = 8 m/s2

S = So + Vo. t + (8.t2)/2

V = 0 + Vo . 1 + 2 . 54 t – 27 t² . 0 / 2²

V= Vo + 108 t / 4

V= Vo + 27 t

Passo 2

S = So + Vo. t + ( 8.t2 )/2

TABELA

t (s) S (m)

0 0

1 4

2 16

3 36

4 64

5 100

Tipo da função: exponencial do 2º grau

Variação de espaço: 337,5 m

V= Vo + 8 t

TABELA

t (s) V (m/s)

0 0

1 8

2 16

3 24

4 32

5 40

Tipo da função: exponencial do 1º grau

Variação de velocidade para cada intervalo : 8 m/s

Passo 3

Agora vamos considerar o conceito de função velocidade v e função aceleração a de uma função posição s. Vimos que velocidade num instante T é dada pela derivada de s no instante T. A função velocidade é então a função derivada da posição

Ou seja

Vamos ver agora qual a relação da aceleração num instante T com a derivada da função velocidade v. No intervalo entre os instantes T e t, temos que a aceleração média é dada pela proporção

Onde Δ v = v (t) – v (T) é a variação do espaço e Δ t = t –T é a variação do tempo entre estes instantes. A aceleração no instante T é por definição o limite da aceleração média entre os instantes T e t, quando t tende a T, ou seja,

A aceleração no instante T é de fato a derivada da função velocidade no instante T, uma vez que

A função aceleração é então a função derivada da velocidade e portanto é a função derivada segunda da posição

Ou seja

Se s é a função posição de um corpo de massa m submetido a uma força resultante F, a segunda Lei de Newton nos diz que

F = ma

F = mv’

F = ms’’.

Temos que as expressões das funções velocidade e aceleração também podem ser dadas por

Exemplo:

a = 0+8+0 = 8

S = So + Vo. t + (8.t2)/2

V = 0 + Vo . 1 + 2 . 54 t – 27 t² . 0 / 2²

V= Vo + 108 t / 4

V= Vo + 27 t

a = 0 + 27

a = 27

Passo 4

a = 8 m/s²

t (s) a (m/s²)

0 8

1 8

2 8

3 8

4 8

5 8

Tipo da função: constante

Área = base x altura

Área = 5 x 8 = 40

Variação de velocidade para cada intervalo : 8 m/s

A área é o valor da velocidade final no instante de cinco segundos, que é o esperado pois a cada segundo a velocidade aumenta 8 m/s que é o valor da aceleração.

RESULTADOS OBTIDOS

Com o desenvolvimento pode se perceber a relação existem entre as funções espaço, velocidade e aceleração a partir do calculo. Entender que quem convencionou as fórmulas velocidade e aceleração teve um fundamento para chegar à forma simples, que utilizamos muitas vezes no cotidiano sem saber como foram desenvolvidas.