APLICAÇÃO DA ALGEBRA NA RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS DA GEOMETRIA ANALITICA

APLICAÇÃO DA ÁLGEBRA NA RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS DA GEOMETRIA ANALÍTICA

1. Sérgio Luís Ribeiro Lopes¹

Salete de Brito Moehlecke²

1. INTRODUÇÃO

Antes de solucionar problemas analíticos usando a álgebra devemos entender o que é a geometria, pois é difícil desenvolver uma solução sem entender a base do problema. A geometria é o estudo das propriedades relacionadas com a posição e forma de objetos no espaço.

A geometria Axiomática estuda a sistematização de seus elementos mediantes o encantamento lógico de axiomas, definições e teoremas. Já a geometria descritiva (Gaspard monge 1746-1818) usa de projeção sobre planos previamente fixados para tirar conclusões sobre os entes geométricos.

A geometria analítica (Renê Descartes 1596-1650) utiliza álgebra e suas equações para tirar conclusões sobre as propriedades dos objetos geométricos. A geometria analítica é uma forma algébrica de analisarmos elementos geométricos, retas, pontos, e assim por diante. Normalmente estamos acostumados a falar dessas coisas de uma forma geométrica. Fazemos um desenho do elemento, sendo que o desenho não demonstra os termos algébricos. Não vamos transformar isso em contas quando falamos de geometria. Pelo menos não em uma forma analítica.

A geometria analítica é uma ciência que fez a união da geometria e álgebra, áreas da matemática. Então uniremos a geometria com a álgebra, analisaremos estes elementos geométricos utilizando as ferramentas da álgebra.

A solução para problemas analíticos pode ser encontrada “algebricamente” ou “analiticamente”. A decisão sobre qual é a melhor, a mais simples, ou a mais adequada solução, depende da natureza do problema e das preferências pessoais bastante subjetivas de quem o resolve. No entanto, na maioria das vezes, as áreas do conhecimento matemático se entrelaçam de maneira significativa e isso nem sempre é percebido nos assuntos ministrados no Ensino Básico.

Com base em um breve estudo teórico busca-se aqui apresentar uma reflexão sobre a importância da álgebra na resolução de problemas da geometria analítica.

De acordo com Marca, Riesdorf e Bonnemann  (2016, p. 05):

Na utilização das construções com régua e compasso é necessário promover entre os alunos uma discussão sobre a construção que será realizada, decidindo em conjunto qual instrumento deve ser utilizado, em qual momento deve ser aplicado, se a solução encontrada é única ou não, etc. Outra questão importante é a justificativa do porque aquela construção realizada é verdadeiramente a solução do problema proposto. Para justificar as construções podemos recorrer à Álgebra, ou ainda aos teoremas e propriedades da Geometria.O encontro da geometria e da álgebra ocorre no plano cartesiano onde a figura geométrica é utilizada para estabelecer uma localização específica no espaço, sendo representada algebricamente por um número real, demonstrando a geometria cartesiana.

Esse campo tem como essência real a transferência de uma investigação geométrica para uma investigação algébrica correspondente. Por ter a geometria analítica tido de esperar o desenvolvimento do simbolismo e dos processos algébricos para que se desenvolva de forma plena o seu papel. Parece então correto concordar com a maioria dos historiadores de que foram as contribuições de René Descartes e Pierre de Fermat que deram a geometria analítica os contornos iniciais para a forma com a qual estamos acostumados nos dias de hoje.

1. FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA

A álgebra é aplicada em diversas profissões tais como: na engenharia, na ciência da computação na manipulação de imagens nas coberturas de cores, também são utilizadas em operações lineares, na mecânica com a resolução de vetores, o que demonstra a importância da álgebra na resolução de problemas analíticos.

A álgebra também estuda os espaços vetoriais e a associação de espaços vetoriais entre eles. Este por último citado são como uma generalização de espaços do nosso cotidiano, como a largura, altura e profundidade de onde vivemos. Para entender a geometria analítica é fundamental conhecer um pouco de álgebra.

De acordo com Gimenez e Linz (2006, p. 90) “A atividade algébrica é descrita como fazer ou usar álgebra. A versão mais banal dessa posição é a que descreve a atividade álgebra como calcular com letras”.

O ensino da Álgebra de modo geral, na escola, se restringe a resolução de equações algébricas de modo mecânico, quase sempre, sem vincular com problemas reais ou, pelo menos, geométricos. Uma das maiores dificuldades do aprendizado da álgebra é quando aparece uma variável com valor de número, ou seja, a letra tem valor substancial na equação estipulada. Os aprendizes não conseguem estipular os valores das letras x, y, z, k.

 A fim de evitar memorizações de fórmulas desnecessárias as quais os alunos não entendem devemos usar recursos capazes de comprovar essa equação e na forma prática, buscando o entendimento das letras e números. Conforme Oliveira e Laudares (2006, p. 06)

Com o objetivo de que os estudantes alcancem uma formação de conceitos algébricos satisfatórios e para que obtenham um desenvolvimento do pensamento algébrico consistente, o ensino da Álgebra deve não só estar articulado com os conceitos aritméticos desde os anos iniciais do Ensino Fundamental, mas enfatizar as várias concepções da álgebra também dentro da Geometria, visando assim, um efetivo desenvolvimento do pensamento abstrato e a capacidade para generalizar os conceitos nas séries posteriores à educação básica.

Para Itzcovich (2012), entre álgebra e geometria, destacamos aquelas relações em que esses recursos algébricos servem à construção geométrica. Para os autores, existem inúmeras situações para construir gráficos, mas, em geral, o principal problema da geometria não é desenhar os gráficos necessários, mas provar aos alunos que é possível encontrar réguas, compassos e soluções, aproveitando para demonstrar as aplicações e o contexto dos recursos algébricos.

Segundo Nicolodi (2013, p. 13) “Como René Descartes associava a geometria à álgebra, o sistema cartesiano ortogonal foi a forma que ele inventou para representar expressões algébricas graficamente”.