Álgebra Linear Conteúdo para as aulas

                                                       Álgebra Linear

                                          Matriz da transformação linear

1. Dada T: IR[pic 1]IR[pic 2] tal que T(x, y, z) = ( x – 2y + z, 2x + y – 3z) , determine a sua matriz ( T ) [pic 3] em relação às bases:

B = { ( 1, 1, 0 ), ( –1, 0, 2 ), (0, 0, 1 ) } e C = {( 1,–1 ), ( 0, 1 ) }

RESP: ( T )[pic 4] =  [pic 5]       

[pic 6]

                                                           

1. Dada T: IR[pic 7]IR[pic 8] tal que T(x, y, z) = ( x +6y –3 z, x +4 y – 2z) , determine a sua matriz ( T ) [pic 9]  em relação às bases:

B = { ( 1, 1, 1 ), ( 1, 1, 0 ), (1, 0, 0 ) } e C = {( 1,1 ), ( 1, 0 ) }

RESP: ( T )[pic 10] =      [pic 11]                   

                                                                                                                                                                         [pic 12]

1. Sendo T: IR[pic 13][pic 14] IR[pic 15] e  T ( x, y, z)  = ( x , x+y ), determinar (T)[pic 16]sendo  B = { (1,1,1), (1,1,0), (1,0,0) } [pic 17] base do IR[pic 18]  e

C  é a  base canônica  do IR[pic 19]

RESP: ( T )[pic 20] =  [pic 21]

                                                                                                                                         [pic 22]

             Núcleo e Imagem da transformação linear

1. Seja a transformação linear [pic 23].

Determine: a) o núcleo, a base e a dimensão do núcleo. T é injetora? Justifique a resposta.

b) a imagem, a base e a dimensão da imagem. T é sobrejetora? Justifique a  resposta.

                                                                                                                                      [pic 24]

1. Enunciado igual do exercício  1) , sendo

[pic 25] 

                                                                                                           [pic 26]

1. Enunciado igual do exercício 1), sendo T : IR[pic 27][pic 28] IR[pic 29], T (x,y) = (x, x+y,y )

                      Operadores Inversíveis

Sendo T : V→ V um operador linear. Se T é bijetora, T é inversível.

Obs :  T é   bijetora, quando  T é injetora e sobrejetora. Para resolver os exercícios será usado o Teorema:

T : V→ V é inversível se N(T) for o vetor nulo.

Exemplo ( será resolvido em sala )

Seja T o operador em IR[pic 30]definido por  T ( x , y ) = ( x + 3y , x ). Mostre que T é inversível e determine  T [pic 31]

  Exercícios: 1)  Considere os operadores T:R2 → R2 . Verifique se são inversíveis e em caso positivo, determine T [pic 32]

1. T ( x , y ) = ( 3x  – 4y , – x + 2y )
2. T ( x , y ) = ( x – 2y , –2x + 3y)

 2) Considere os operadores T : IR[pic 33]→ IR[pic 34]. Verifique se são

Inversíveis e em caso positivo, determine T [pic 35]

1. T(x, y, z) = (x - y + 2z, y - z, -2x + y - 3z)
2. T(x, y, z) = (x + y - z, x + 2y, z)    

                     

                   Autovalor e autovetor ( ou valores próprios e vetores próprios)

Definição:  Seja T : V [pic 36]  V um operador linear.  O vetor v [pic 37] V  ( v [pic 38] 0[pic 39]) é chamado autovetor de T se existir  um número real  tal que    T ( v ) =  . v[pic 40][pic 41]