Notas de Aula de Álgebra Linear

Notas de Aula de Álgebra Linear

1. MATRIZES

O conceito de matriz e suas operações são essenciais para o estudo da Álgebra Linear. Por isso será feito a seguir uma pequena revisão de matrizes.

1.1.1 Matriz com Dimensões mn

Definição: Seja a matriz A, com elementos dispostos em m linhas e n colunas. Neste caso, a matriz A é representada por:

Como exemplo, vamos definir algumas matrizes com ordens baixas que serão usadas para definir operações nesta revisão. Assim:

Exemplo 1.1: Sejam as matrizes

, , .

1.1.2 Tipos Especiais de Matrizes

Matriz Nula – é aquela em que , para todo i e j.

Exemplo 1.2:

Matriz Diagonal – é uma matriz quadrada (m = n) onde , para , isto é, os elementos que não estão na diagonal principal são nulos.

Exemplo 1.3: .

Matriz Identidade – é aquela em que e , para .

Exemplo 1.4: .

Matriz Triangular Superior – é uma matriz quadrada onde todos os elementos abaixo da diagonal principal são nulos, isto é, m = n e para i > j .

Exemplo 1.5:

Matriz Triangular Inferior – é aquela em que m = n e para i < j .

Exemplo 1.6:

Matriz Simétrica – é aquela em que m = n e .

Exemplo 1.7:

1.1.3 Operações com Matrizes

Adição: A soma de duas matrizes da mesma ordem, , é uma matriz

3  3 , que denotaremos por A + B , cujos elementos são somas dos elementos correspondentes de A e B. Isto é,

Exemplo 1.8:

Multiplicação por Escalar: Seja a matriz e k um número, então, define-se multiplicação de matriz por escalar uma nova matriz na seguinte forma:

Exemplo 1.9:

Transposição de Matriz : Dada uma matriz , pode-se obter outra matriz , cujas linhas são as colunas de A , isto é, . A matriz é denominada transposta de A.

Exemplo 1.10: