A Aplicação de EDO para Circuitos Elétricos

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UNIVERSIDADE FEDERAL DO TRIÂNGULO MINEIRO – UFTM

INSTITUTO DE CIÊNCIAS TECNOLÓGICAS E EXATAS -  ICTE

Equações Diferenciais Ordinárias: Proposta de aplicação em Circuitos Elétricos.

Larisse Roberta de Souza

                                                 UBERABA-MG

2019

1. Introdução

A modelagem matemática está presente em diversos aspectos do cotidiano, tendo aplicações práticas em áreas como engenharia, medicina, química e biologia entre outras.  As equações diferenciais ordinárias (EDO‘s) destacam comporta mentos fenômenos da natureza, taxas de crescimento, vibrações, circuitos elétricos entre os mais diversos aspectos.  Justo relatarmos que as EDO ’s foram fruto de estudo avançado do cálculo diferencial integral através de Newton e outros estudiosos moldaram as equações diferencias.  Partindo como ponto de estudo das EDO’s no campo da engenharia elétrica, estudaremos aplicação de circuitos elétricos denominados RLC, circuito  formado  pelo  conjunto  de componentes  como  resistor,  indutor   e  capacitor,  através  deste  circuito  conseguimos  visualizar  as  oscilações  de  Neper  e  ressonância,  resolvendo  a  equação  característica   da  solução  homogênea,  neste  circuito  modelamos   a  taxa   de  variação  da  tensão com  a equação diferencial ordinária de  segunda ordem  linear  não  homogênea.          

 

1. Desenvolvendo a EDO.     

As EDO’s podem ser usadas para modelar diversos fenômenos ocorrentes em um circuito RLC. Um circuito RLC é um circuito elétrico consistindo de um resistor, um indutor, e um capacitor, conectados em série ou em paralelo. O circuito RLC é chamado de circuito de segunda ordem visto que qualquer tensão ou corrente nele pode ser descrita por uma equação diferencial de segunda ordem. Nesse caso, analisaremos a resposta a um circuito na figura abaixo.

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Figura 1- Circuito RLC.

A resposta a um circuito RLC é a representação da tensão em um circuito quando o capacitor está sendo carregado, logo só se faz presente quando a fonte de tensão é constante (característica de circuito de corrente contínua –CC). O processo inverso denomina-se resposta natural do circuito, em que a análise é análoga. Porém antes de tudo, deve-se tomar conhecimento sobre o comportamento de cada componente que está presente no circuito analisado.

1. Capacitores

Um capacitor consiste em dois ou mais condutores isolados entre si por um meio dielétrico, que é um isolante elétrico que, sob a atuação de um campo elétrico exterior acima do limite de sua rigidez dielétrica, permite o fluxo da corrente elétrica. O capacitor tem como principal função armazenar energia potencial elétrica na forma de campo elétrico, durante um intervalo de tempo. A figura abaixo é representada a construção de um capacitor.

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Figura 2- Partes construtivas de um capacitor.

Normalmente um material dielétrico se torna condutor quando é ultrapassado o seu campo de ruptura. Essa intensidade máxima do campo elétrico (em V/m) se chama rigidez dielétrica. Assim, se aumentamos muito campo elétrico aplicado sobre o dielétrico, o material se converte em um condutor.

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Figura 3- Meio dielétrico.

Assim, capacidade elétrica ou capacitância é dado pela ração entre a quantidade de carga armazenada entre os condutores do capacitor pela diferença de potencial existente entre os mesmo. A capacitância é medida em Faraday (F), mas é utilizada em microfaraday, nanofaraday e picofaraday, devido ser uma unidade relativamente grande.

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Sendo,

Q - Quantidade de carga. (Columb- C)

C - Capacitância. (Faraday- F)

V - Tensão. (Volts- V)

Por definição, a corrente que passa por um capacitor é igual a variação da carga. Derivando a equação, podem-se obter as seguintes relações:

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2.2. Indutor

O indutor, também conhecido por hoke ou reator, é um dispositivo elétrico passivo que armazena energia na forma de campo magnético, normalmente combinando o efeito de vários loops da corrente elétrica. O indutor pode ser utilizado em circuitos como um filtro passa baixo, rejeitando as altas frequências. A indutância é um parâmetro dos circuitos lineares que relaciona a tensão induzida por um campo magnético variável á corrente responsável pela tal, sendo uma grandeza física medida em Henry (H).

A tensão entre os terminais de um indutor é proporcional ao produto da indutância e a taxa de variação da corrente que o atravessa.

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Figura 4- Tipos e tamanhos de indutores elétricos

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Sendo que,

V(t) - Diferença de potencial nos terminais da bobina.

L- Indutância. (Henry- H)

I - Corrente. (Ampére- A)

2.3. Resistores

Os resistores são componentes que oferecem oposição a passagem de corrente em um circuito elétrico, esse fato é denominado de resistência elétrica ou impedância (Z), tendo como unidade o ohm. Os resistores causam uma queda de tensão, porém, a queda elétrica que entra em um terminal é exatamente a mesma que sai, ou seja, não provoca que de corrente, sendo é possível utilizar o resistor para limitar uma corrente num circuito.

A relação entre tensão, corrente e resistência é dada pela Lei de Ohm, em que:

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Sendo que,

R – Resistência (Ohm- Ω).

V – Tensão (Volts – V).

I – Corrente (Ampére – A).

A segunda Lei de Kirchhoff ou Lei das Malhas afirma que percorrendo uma malha (qualquer caminho condutor fechado) num certo sentido, partindo e chegando ao mesmo ponto, a soma algébrica das diferenças potenciais é nula.

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Figura 5- Lei de Kirchhoff das correntes.

Buscamos encontrar a tensão presente no capacitor em um determinado instante de tempo, usando a lei das malhas temos: