Trabalho Edo -Equações Diferenciais Ordinarias - Circuito Eleétrico

Etapa I

Passo 1

A modelagem consiste na arte ou tentativa de se descrever precisamente um fenômeno. Pode se dizer então que um modelo matemático é desenvolvido para simular a realidade, usando a linguagem matemática.

A modelagem de um fenômeno através de equações diferenciais, é normalmente feita da seguinte forma: através das simples observações conseguem-se informações sobre as taxas de variação do fenômeno, que do ponto de vista matemático são derivadas, escreve-se a equação que relaciona as taxas de variação e a função, isto é, a equação diferencial associada e, a partir da resolução desta equação tem-se uma possível descrição do fenômeno.

Etapa I

Passo 2

Equação diferencial é a equação com uma série de funções derivadas de uma mesma função começando pela de maior ordem. No caso de uma Equação Diferencial Ordinária, a solução da equação é a sua função original não derivada. A integral foi criada para calcular áreas curvas, geralmente de um plano cartesiano, porém com o tempo foi-se descobrindo novas formas de seu uso tornando cada vez mais complexo e importante para a ciência em si. Logo uma integral segue o caminho inverso da derivada.

Existem várias maneiras de calcular uma integral, como a integral definida que se tem os valores máximos e mínimos definidos da variável. Também a indefinida, que em seu cálculo chega à outra equação aplicável, mantendo ainda a variável da função.

Etapa I

Passo 3

Equação diferencial linear de ordem 1

A equação diferencial linear (0.1) diz-se de ordem n, supondo , visto ser a ordem mais elevada das derivadas de y que figuram na equação.

Para , a equação (0.1) fica

. (0.2)

Temos neste caso uma equação diferencial de primeira ordem.

Desenvolvimento:

Dividindo ambos os membros por , obtém-se uma equação da forma

. (0.3)

Na equação (0.3) supõe-se que e são contínuas num certo intervalo , onde pretendemos encontrar a solução geral da equação.

Para resolver esta equação, usa-se o fator integrante . Multiplicando ambos os membros da equação por obtém-se a seguinte equação equivalente:

. (0.4)

À expressão chama-se fator integrante. Deve-se notar que, como gera uma expressão da forma , pode-se escolher qualquer constante C para o fator integrante (escolhe-se o que gera a solução mais simples).

Vamos mostrar que a solução geral de (0.3) é dada por

. (0.5)

Com efeito, (0.4) é equivalente a

. (0.6)

(Verifique, derivando o primeiro membro de (0.6).) Integrando, obtém-se (0.5). Conclui-se assim que toda a solução de (0.3) satisfaz (0.6). Por outro lado é fácil ver que toda a função nas condições de (0.5), i.e., tal que

, (0.7)

é solução da equação diferencial (0.3). (Derive , ou seja, o segundo membro de (0.7), e substitua e em (0.3)).

Equações de variáveis Separáveis

Se a equação tiver a forma

é chamada por equação de variáveis separáveis. Para resolver este tipo de equação, primeiro observemos que a primitiva da função g(y) pode ser calculada da seguinte forma

Esta equação diferencial pode ser escrita como

a primitiva do lado esquerdo, em relação a variável independente x, é igual a primitiva de g(y), em relação a variável dependente y, como acabamos de ver; assim, temos que

Se conseguirmos calcular as primitivas (integrais) de cada lado da equação, obteremos a solução analítica da equação diferencial.

Etapa I

Passo 4

Modelagem de Sistemas tem por objetivo construir modelos matemáticos para descrever sistemas simples.

Exs:

• Sistemas mecânicos

• Sistemas elétricos

• Sistemas fluídicos

• Sistemas térmicos

Sistemas Elétricos

As leis fundamentais