A Autovlores e Autovetores

• INTRODUÇÃO

Autovalores e autovetores, também conhecidos como valores próprios e vetores próprios, bastante utilizados na álgebra linear e na computação científica, tem uma vasta aplicação na Matemática, Física, nas Engenharias: Elétrica, Civil, Mecânica, entre outros.  

Um operador linear pode levar vetores em diferentes direções. Como por exemplo:

T(x,y) = (2x + y, x)

T(1, 2) = (4,1).

Também existem curtas transformações que atuam de maneira simples em alguns vetores. Dado um operador linear T: V   V, existem vetores v ϵ V, v  0, onde v é um vetor do próprio operador T, se λ ϵ R, tal que T (v) = λv.[pic 1][pic 2]

Existem várias aplicações de autovalores e autovetores, como por exemplo, o site da Google, que é utilizado para encontrar páginas da web. Esse método de classificação de páginas é chamado de Page Rank, onde ele classifica as páginas baseando-se unicamente na forma como são vinculadas. Dessa forma, a classificação de páginas é encontrada através do cálculo do autovetor associado ao maior autovalor da chamada matriz Google. Devido a estrutura desta matriz é possível garantir a existência de um autovalor dominante e de um autovetor associado, cujas entradas são todas positivas.  

• DEFINIÇÃO DE AUTOVALORES E AUTOVETORES

        Pode ser dita como uma transformação linear T: V → W

T(v) = λ v

Onde, λ é um autovalor (valor escalar) e v um autovetor (se v ≥ 0). Como isso é uma transformação linear, podemos dizer que: T(v) = Av e consequentemente podemos igualar as equações acima, Av = λv ou Av – λv = 0, igualando as equações, chegaremos em uma equação de sistema homogêneo:

(A – λI) v = 0

Onde A é n x n, v = 0 é sempre uma solução.

Com a equação acima chegamos a um polinômio de grau n em l, as raízes desse polinômio característico são os autovalores da matriz A.

Para se encontrar os autovetores basta usar os autovalores já encontrados e substituir na equação original, o valor encontrado é associado ao autovetor, porém o autovetor encontrado forma uma base para o espaço da solução da equação do autovalor usado, então, qualquer múltiplo deste autovalor, também é um autovetor.

Para conseguirmos usar a equação da matriz anterior para encontrar os autovalores e autovetores precisamos que ela uma matriz canônica com um vetor existente e não nulo.

Sendo A uma matriz canônica que representa um operador linear T, temos:

• Autovalores λ de T ou de A: são raízes da equação det (A - λI) = 0.
• Autovetores v de T ou de A: para cada λ, são as soluções da equação Av = λv ou (A – λI) v = 0.

• EQUAÇÕES

1. AUTOVALOR

Seja o operador linear T: R3→ R3 :

A = [ T ] =

[pic 3]

Temos:

A.V= λ.V , onde λ → autovalor é V → autovetor (matriz 3x1)

A.V - λ.V= 0  

A.V - λ.I.V =0 , onde I → matriz identidade de ordem 3

(A - λ.I) V =0

 [pic 4]

Disso temos um sistema de equações lineares. Para que esse sistema seja possível e determinado (com uma única solução) V≠ 0, isto é:

[pic 5]

Logo,

det(A - λ.I) = 0

ou,

 [pic 6] 

Det (A - λ.I) = 0 é chamada equação característica do operador T e suas raízes são autovalores de T ou da matriz A. O determinante det (A- λ.I) é um polinômio em λ denominado polinômio característico.

1. AUTOVETORES

Substituindo λ no sistema homogêneo SPD permite determinar os autovetores associados.

• PROPRIEDADES DOS AUTOVETORES E AUTOVALORES

1. Se V é um autovetor associado ao autovalor λ de um operador linear T, o vetor a.V, para qualquer a ≠ 0, também é um autovetor de T associado ao mesmo λ.

T(v) = λ.V

e

T(a.v) = aT(v) = a (λ.v)

Observação: Sendo a.V um autovetor  associado ao autovalor λ com: a =  obtemos sempre um autovetor unitário  associado ao mesmo λ. [pic 7]

1. Se λ é um autovalor de um operador linear T:V→V, o conjunto S λ de todos os vetores v ϵ V , inclusive o vetor nulo, associados ao autovalor λ, é um subespaço de V.

v1 e v2 ϵ Sλ  ∴ T(v1+v2) = T(v1) + T(v2) = λv1 + λv2 = λ(v1+v2).  

1. Matrizes semelhantes possuem o mesmo polinômio característico e, por isso, os mesmos autovalores.

• DIAGONALIZAÇÃO DE MATRIZES SIMÉTRICAS

Como já foi estudado, sabemos que a Matriz simétrica é uma matriz quadrada onde A = At. E neste caso, diremos que a matriz simétrica terá apenas raízes reais. Exemplo de matriz simétrica:

Figura 1 - Matriz Simétrica

[pic 8]

Fonte: Álgebra Linear - Steinbruch

        A diagonalização da matriz, nada mais é do que o processo de mudança de base, com a intenção de obter a matriz diagonal, sendo executável sempre que possível formar uma base do espaço Rn com apenas autovetores da matriz quadrada.  

Matrizes diagonais, como são triangulares, os autovalores serão elementos da diagonal principal, como no exemplo a seguir:

Figura 2 - Matriz Diagonal

[pic 9]

Fonte: REMAT Álgebra Linear

Steinbruch separa em três principais propriedades, sendo elas: