Autovalor E Autovetor

AUTOVALORES E AUTOVETORES

É uma transformação especial T : V W.

(I) T(v) = v

Onde,  é o autovalor (escalar) e v é autovetor (se v 0).

Como toda transformação linear pode ser escrita pela multiplicação de uma matriz por um vetor então:

(II) T(v) = Av

Igualando (I) e (II), tem-se:

Av = v ou Av – v = 0 que resulta no sistema homogêneo:

(III) (A – I) v = 0

Onde A é n x n, v = 0 é sempre solução (trivial).

Os vetores v 0 para os quais existe um  que resolve a equação (III) são chamados de autovetores da matriz A e os valores de , que conjuntamente com v resolvem a equação são chamados de autovalores da matriz A associados aos respectivos autovetores.

Para que a equação (III) tenha solução além da trivial é necessário que o determinante da matriz dos coeficientes seja zero, ou seja,

det(A – I) = 0

o que resulta em um polinômio de grau n em , conhecido como polinômio característico. As raízes do polinômio característico são os autovalores da matriz A.

Para se encontrar os autovetores basta substituir o valor do autovalor na equação original e encontrar o autovetor. O autovalor será, então, associado ao autovetor encontrado.

Na verdade, o autovetor encontrado forma uma base para o espaço de solução da equação (III), dado o respectivo autovalor. Logo, qualquer múltiplo do autovetor também é um autovetor.

Portanto:

Sendo A a matriz canônica que representa um operador linear T, temos:

• autovalores  de T ou de A: são as raízes da equação

det(A – I) = 0,

• autovetores v de T ou de A: para cada , são as soluções da equação

Av = v ou (A – I)v = 0.

Interpretação geométrica

• u é autovetor de T

pois   R / T(u) = u.

• v não é autovetor de T

pois não   R / T(v) = v.

Exemplo 1: Considere o operador linear definido no exemplo anterior:

T: R2  R2

(x, y) (4x + 5y, 2x + y)

• autovalores de , matriz canônica de T.

Resolvemos a equação característica det (A – I) = 0:

det (A – I) = 0  (4 – ) (1 – ) – 10 = 0  2 – 5 – 6 = 0

 1 = – 1 e 2 = 6.

• autovetores de A ou de T:

Para cada autovalor  encontrado, resolvemos o sistema linear (A – I)v = 0:

Então, = (– y, y) sendo um de seus representantes o vetor v1 = (– 1, 1).

Então = ( y, y) sendo um de seus representantes o vetor v2 = ( , 1).

Exemplo 2: Determinar os autovalores e autovetores do operador linear:

T : 3 3, T(x,y,z) = (3x