Transformações Lineares: Autovalores e Autovetores
Por: carolinemeinert • 21/6/2016 • Trabalho acadêmico • 1.572 Palavras (7 Páginas) • 538 Visualizações
Fundação Universidade Regional de Blumenau – FURB
Centro de Ciências Tecnológicas – CCT
Departamento de Engenharia Química – DEQ
Engenharia de Alimentos
Álgebra Linear
Caroline Meinert
TRANSFORMAÇÕES LINEARES
E
AUTOVALORES E AUTOVETORES
Blumenau, dezembro de 2015.
INTRODUÇÃO
A Álgebra Linear possui diversos conceitos matemáticos que correlacionam entre si. Como o caso das transformações lineares, valores e vetores próprios.
As transformações lineares são funções que representam o domínio e contradomínio de espaços vetoriais, e preserva a importante propriedade da soma e multiplicação por escalar. Possui vertentes complexas que vão desde a construção da regra à definição de núcleo e imagem.
Os autovalores e autovetores estuda o conhecimento dos valores e vetores próprios dentro de um espaço vetorial, ligado diretamente às transformações lineares.
É possível verificar suas definições e aplicações práticas, conforme apresentado.
TRANSFORMAÇÃO LINEAR
1.1. Definição
Transformação linear é uma função característica aplicada a espaços vetoriais, a qual preserva as operações de soma e produto por uma escalar. Estas regras podem ser combinadas em um requisito, conforme apresentado por STRANG, 2012, p.126.
Para todos os números c e d e todos os vetores x e y, a multiplicação de matrizes satisfaz a regra da linearidade:
[pic 1]
Toda transformação T(x) que atenda este requisito é uma transformação linear.
Descrevem de forma simples dependências entre variáveis de uma função.
1.2. Construção da Regra da Transformação
Paras dois espações vetoriais U e V, dizemos que uma aplicação é linear, ou seja, forma uma transformação linear que obedece às condições:[pic 2]
I) Para quaisquer vetores v, w ∈ V, temos [pic 3]
II) Para qualquer escalar k e vetor v ∈ V, temos [pic 4]
Preservando a soma dos vetores e a multiplicação por escalar, as operações básicas de transformações lineares, temos que é linear.[pic 5]
Ao substituirmos na segunda condição , obtemos , demonstrando que qualquer transformação linear leva o vetor nulo no vetor nulo.[pic 6][pic 7]
Para quaisquer escalares e vetores , obtemos:[pic 8][pic 9]
[pic 10]
De maneira geral obtemos a propriedade básica das transformações lineares:
[pic 11][pic 12]
Exemplo: Seja uma transformação onde sua lei de formação é e e .[pic 13][pic 14][pic 15][pic 16]
[pic 17]
[pic 18]
Verificando a primeira condição da regra de formação:
[pic 19]
[pic 20]
Verificando a segunda condição da regra de formação: ([pic 21]
[pic 22]
[pic 23]
[pic 24]
[pic 25]
[pic 26]
1.3. Matriz de uma Transformação Linear
Toda matriz leva a uma transformação linear, de forma que as transformações não precisam ocorrer no mesmo espaço de a . É possível transformar vetores de em vetores em um espaço diferente . Por este motivo são utilizadas matrizes x , onde o vetor original possui elementos e o vetor transformado possui elementos. “(...) Se conhecermos Ax para cada vetor de uma base, conheceremos Ax para cada vetor de um espaço inteiro.” (Strang, 2012, p.127). [pic 27][pic 28][pic 29][pic 30][pic 31][pic 32][pic 33][pic 34][pic 35]
Exemplo: Seja o operador linear definido por . Encontre a representação matricial de F em relação à base .[pic 36][pic 37][pic 38]
[pic 39]
[pic 40]
Resolvendo o sistema obtemos . Logo .[pic 41][pic 42]
[pic 43]
[pic 44]
Resolvendo o sistema obtemos . Logo .[pic 45][pic 46]
[pic 47]
1.4. Matriz Mudança de Base
Para a escolha de outra base na representação matricial temos que:
Seja P uma matriz de mudança de base de uma base S para uma base S’ em um espaço vetorial V. Então, para qualquer operador linear T em V,
[pic 48]
(LIPSCHUTZ, 1994, p. 494)
Expressando assim que A é uma matriz que representa T em uma base S, então é a matriz que representa T em uma nova base S’, onde P constitui a matriz mudança de base S para S’.[pic 49]
Exemplo: Consideremos a seguinte base para , e consideremos o operador linear F em definido por .[pic 50][pic 51][pic 52]
[pic 53]
Representando a mudança de base P de E para S:
[pic 54]
[pic 55]
[pic 56]
Então: é a representação matricial de F em relação à base usual E. [pic 57]
[pic 58]
...