O Autovalores a Autovetores

FACULDADE PARAÍSO DO CEARÁ

MARIA LÚCIA DE MENEZES

AUTOVALORES E AUTOVETORES

Juazeiro do Norte

2016

INTRODUÇÃO

Autovalores e autovetores estão presentes em várias áreas da matemática e são bastante utilizados em vários campos que fazem uso dos vários métodos matemáticos resolver problemas cotidianos, pois estão relacionados diretamente com as matrizes. Por exemplo, se uma matriz possui um autovalor nulo, implica que ela não e inversível. Assim, autovalores nos fornecem informações sobre a inversibilidade da matriz. Informalmente falando, dada uma matriz quadrada A um autovetor de A é um vetor que não muda a sua direção, quando multiplicado por A e seu autovalor A é o tamanho da sua expansão ou contração neste processo. As palavras autovalor e autovetor tem origem alemã, e, em alguns livros são chamados de valores próprios ou valores característicos, e os autovetores de vetores próprios ou vetores característicos.

O objetivo da pesquisa é fazer um estudo da utilização e aplicação dos autovalores e autovetores na solução de problemas corriqueiros que envolvem a matemática em sua total abrangência, como nas engenharias, economia, teoria de controle, teoria da informação e vários outros.

AUTOVALORES E AUTOVETORES

1 – MÉTODO DE LAVERRIER

Os métodos numéricos de Leverrier e Leverrier-Faddeev são utilizados para determinar o polinômio característico de uma matriz A de ordem n. Esses métodos são muito uteis, pois determinam o polinômio característico de matrizes de ordem n, independente se a matriz A tenha muitos elementos iguais à zero. O Algoritmo de Leverrier-Faddeev fornece uma alternativa ao cálculo do polinômio característico de uma matriz, sem a utilização de determinantes. Essa alternativa torna-se interessante devido à redução do número de cálculos, quando comparado a outros métodos para obtenção dos determinantes.

Seja uma matriz [pic 1] de ordem [pic 2], podemos determinar seu polinômio característico de [pic 3]  pelo do método de Leverrier.

         Seja [pic 4], os autovalores de uma matriz quadrada [pic 5] de ordem [pic 6], ou seja, se [pic 7], são os zeros do polinômio característico,

[pic 8]

  Pelo teorema, obtemos:

                (1)[pic 9]

Onde [pic 10]         são os coeficientes de [pic 11].

 Logo, se conhecermos as somas das potências das raízes [pic 12], [pic 13], obteremos os coeficientes [pic 14] de [pic 15].

         Para determinar as somas parciais [pic 16], efetuamos a expansão direta do determinante de [pic 17] , o coeficiente de [pic 18] em [pic 19] é [pic 20]         

 Logo, teremos:

[pic 21]

 É denominado traço de [pic 22] representado por [pic 23] a soma dos elementos da diagonal principal de uma matriz [pic 24].

[pic 25]

ou seja, a soma dos autovalores da matriz [pic 26]  é igual ao traço de [pic 27].

         Assim, desde que os autovalores de  [pic 28] são a [pic 29]  potência dos autovalores de A, temos:

[pic 30]

OBS.:

1- As raízes do polinômio característico são os autovalores da matriz

[pic 31]

2- Se [pic 32]  é autovalor de [pic 33], então [pic 34] é autovalor de[pic 35].

[pic 36]

3- A soma dos autovalores de uma matriz é igual ao seu traço.

[pic 37]

De (2) temos:

[pic 38]

EXEMPLO: Polinômio característico da matriz A  é:[pic 39]

                                 P(λ)= det (λI – A) =  – λ [pic 40][pic 41]

                                                       =  - [pic 42][pic 43]

              =  =  (4 – λ).(1 – λ) – 10[pic 44]

- 5λ – 6 [pic 45]

 raízes  λ1 = 6, λ2 = -1[pic 46]

P(λ) = (λ – 6).(λ – 1)  polinômio característico[pic 47]

2- MÉTODO DE LAVERRIER-FADDEEV

Faddeev introduziu uma melhoria no método de Laverrier, que simplificava os cálculos dos coeficientes do polinômio característico e obtém, em alguns casos, os auto vetores de [pic 48].

Primeiramente definimos uma sequência de matrizes: A1, A2, ... ,An ,  do seguinte modo:

        A1        =        A , q1 = trA1 , B1 = A1 − q1I ;[pic 49]

[pic 50]

[pic 51]

Propriedades da sequência de matrizes: [pic 52] :

1. - Os termos [pic 53] obtidos na sequência são os coeficientes do polinômio característico , ou seja:

[pic 54] 

 A prova de que [pic 55]  será efetuada por indução.  Assumindo que [pic 56] , temos que [pic 57] , e assumindo também que  [pic 58]     

Provemos que: [pic 59] =[pic 60] [pic 61].  

 Portanto, pela definição de sequência de matrizes, temos:

[pic 62] 

[pic 63] 

[pic 64] 

[pic 65] 

[pic 66]

 Desde que, pela hipótese de indução, [pic 67] obtemos:

[pic 68]

         Aplicando traço em ambos os membros da igualdade anterior, logo:

[pic 69] 

 Agora, desde que [pic 70] e, pela definição de uma sequência de matrizes, [pic 71], obtemos: