A Conversão Entre Bases Numéricas

Resumo Conversão Entre Bases Numéricas

Como utilizamos um sistema posicional de algarismos, cada número tem um “peso” dependendo da sua posição. Este sistema de posição traduz-se em uma relação entre a base numérica que o número está representado e uma potência dessa base que varia conforme a posição. Seguindo este raciocínio podemos fazer as transformações entre bases numéricas como veremos a seguir.

Conversão de Base Decimal para Base n:

Para realizarmos a transformação de um número decimal para uma base n qualquer, utilizamos o método de divisões sucessivas. Este método consiste em dividir o número na base decimal pela base n que queremos obter, porém o resultado da divisão deve ser o maior número inteiro possível menor que o número que estamos dividindo, não utilizando valores menores que um inteiro, o resto desta divisão é guardada. Então, dividimos o resultado da divisão pela mesma base n, fazendo o mesmo processo de dividir até o “maior inteiro possível”. Faz-se este processo até que o resultado da divisão seja menor do que a base que estamos fazendo a divisão, então, compomos o número na nova base a partir do primeiro resultado, seguido do último resto, seguido do penúltimo resto e assim sucessivamente até o resto da primeira divisão (que também é incluído). Segue um exemplo:

Conversão de Base n para Base Decimal:

Como dito anteriormente, cada algarismo tem um peso dependendo da sua posição, este valor da base n é, para a base decimal, o valor do algarismo multiplicado pela base na potência em que ela se encontra. Na posição menos significativa (da unidade) a base tem potência 0, a casa da dezena detém a potência de valor 1, da centena de valor 2 e assim sucessivamente. Para realizarmos a conversão da base n para a decimal, multiplicamos separadamente cada algarismo pelo peso da posição em que se encontra. Após isso, somamos os resultados, e esse será o valor na base decimal. Segue um exemplo:

Conversão da base Hexadecimal para Base Binária:

Para realizar esta conversão, poderíamos usar os dois métodos de conversão citados acima, transformando da base Hexadecimal para a Decimal e depois de Decimal para base Binária, porém quando temos bases múltiplas de 2 (base 2, base 4, base 8, base 16...) podemos utilizar um caminho alternativo e mais rápido. Podemos converter os algarismos múltiplos da potência de 2 conforme agrupamentos definidos de numeros. Por exemplo, na base 16 temos dezesseis possíveis representações numéricas em uma casa (0, 1, 2, 3,...) e para escrevermos este numero em binário, utilizamos obrigatóriamente quatro bits (com as combinações possíveis de 0000, 0001, 0010, 0011,...). Com base nessa lógica, podemos dizer que para qualquer algarismo (independente de sua posição ) da base 16 pode ser escrita como sua combinação referente em binário. Os zeros mais a esquerda podem ser omitidos. Segue exemplo:

Conversão da Base Binária para Base Hexadecimal:

Com base na transformação de hexadecimal para binário, podemos concluir que um número que está escrito em binário, pode ser agrupado em grupos de quatro bits, tendo em vista que para representarmos, em binário, de 0 a 15, precisamos utilizar 4 bits (mesma faixa de algarismos do hexadecimal 0 até F). Portanto estes agrupamento são traduzidos por seus respectivos valores em hexadecimal. Os casos em que faltam bits, preenche-se com zeros a esquerda. Segue exemplo:

Representação de Número com Sinal:

Para representarmos números negativos ou positivos na base decimal, utilizamos ou sinais – ou + respectivamente, porém na base binária isso não é tão simples, para isso determinamos que o bit mais a esquerda (msb) tem a função de nos mostrar se o numero é positivo (o msb é então 0) ou negativo (o msb é então 1).

Aritmética Binária e