A Determinação dos extremantes da função

[pic 1][pic 2]

---

[pic 3]

Determinação dos Extremantes da Função

Em matemática em especial na análise real, os pontos extremos de uma função são pontos do domínio onde a função atinge seu valor máximo e mínimo. Em geral, não se pode garantir a existência de tais máximos e mínimos, mesmo para funções reais contínuas limitadas. No entanto é possível mostrar que toda função real definida num compacto assume tanto um máximo como um mínimo. Define-se também ponto de máximo local e ponto de mínimo local que são pontos de máximo ou de mínimo de uma função em alguma vizinhança do ponto contida no domínio.

 Um ponto crítico é um ponto no domínio de uma função onde a primeira derivada é nula. Os pontos críticos serão sempre pontos de máximos ou mínimos relativos ou pontos de inflexão, podendo-se descobrir em que categoria o ponto cai analisando a sua segunda derivada (a curvatura) da função. A implicação inversa também é verdadeira para extremos locais, ou seja, um ponto é um máximo ou mínimo relativo e só se for um ponto crítico. Tal já não é verdade para máximos e mínimos absolutos. Também um ponto de inflexão claramente não implica uma primeira derivada nula.

• Onde a função atinge um valor máximo e depois começa a diminuir, chamados máximos locais da função.
• Onde ela atinge um valor mínimo e começa a aumentar, chamados de mínimos locais da função.
• Em pontos de inflexão (horizontais) da função, que ocorrem onde a concavidade da função muda em pontos onde a função oscila indefinidamente entre valores acima ou abaixo.
• Em pontos onde a função é localmente constante, ou seja, existe um intervalo contendo o ponto para o qual a restrição da função ao intervalo é a função constante.

Obviamente, a função pode ter um comportamento para valores menores que o ponto crítico e outro comportamento para valores maiores que o ponto crítico.

As derivadas são ferramentas úteis para examinar gráficos de funções. Em particular, os pontos no interior de um domínio de uma função de valores reais que sejam um extremo local terão a primeira derivada igual a zero ou a derivada não existirá no ponto: tais pontos são chamados de pontos críticos. No entanto, nem todos os "pontos críticos" são extremos locais. Alguns são pontos de inflexão. A segunda derivada é a forma de avaliar esses pontos críticos: se a segunda derivada do ponto crítico é positiva o ponto é um mínimo local, se negativa, é máximo. Se for nula, o ponto é de inflexão ou parte de uma zona constante (possivelmente ainda um extremo local, mas não necessariamente). Uma vez que os extremos locais tenham sido encontrados, torna-se geralmente fácil ter uma ideia do gráfico da função, uma vez que (no caso de domínio de uma só dimensão) ela será crescente ou decrescente de forma uniforme exceto nos pontos críticos, e logo (assumindo que é contínua), terá valores entre os valores nos pontos críticos em cada lado.

Se f for crescente em [a,c] e decrescente em [c,b] [pic 4] podemos concluir que f (x) < f (c) para todo x ≠c em (a,b) e assim f tem um máximo relativo em c.

Se f for decrescente em [a,c] e crescente em [c,b] [pic 5]logo f (x) > f (c) para todo x ≠ c em (a,b) e assim f tem um mínimo relativo em c.

Derivada da 1ª

1. Teorema: Seja f uma função contínua em um intervalo fechado [a,b] que possui derivada em todo o ponto do intervalo (a.b), exceto possivelmente em um ponto c, já que c é um ponto constante.

Seja uma função contínua f em um ponto c em seu domínio tal que f ’ (c) = 0 (ou seja, c é um ponto crítico de f ).

1. Se f altera o seu sinal de positivo para negativo em c então f (c) é um máximo local.
2. Se f altera o seu sinal de negativo para positivo em c então f (c) é um mínimo local.
3. Interpretação geométrica

[pic 6]

Aqui temos um gráfico genérico de uma função no ponto c₁ e no ponto c₂ nós vamos ter que f ’ (c₁) e f ’ (c₂) vão ser 0 e perceba o seguinte nesse primeiro caso onde nós vamos ter um máximo local a função era crescente antes de chegar no ponto c₁ o que significa que sua derivada antes do c₁ era positiva e depois de c₁ essa função passou a decrescer o que significa que a sua primeira derivada passou a ser negativa, então eu mudei a primeira derivada de positivo para negativo ocorre aqui então um máximo local. Já para o ponto c₂ temos a situação ao contrária a função era decrescente antes de chegar em c₂ o que significa que a sua primeira derivada era negativa e depois de c₂ essa função começou a crescer o que significa que a sua primeira derivada será positiva, então o sinal da primeira derivada ela alterou de negativo para positivo no ponto c₂ dessa maneira vamos ver que ocorre um mínimo local.

Derivada da 2ª

Seja uma função contínua f em um ponto c em seu domínio tal que f ’ (c) = 0 (ou seja, c é um ponto crítico de f ).

1. Se f ’’ (c) < 0, então f (c) é máximo local.
2. Se f ’’ (c) > 0, então f (c) é mínimo local.  
3. Interpretação geométrica

[pic 7]

Outra vez temos aqui o gráfico de uma função genérica no ponto c₁ vai acontecer um máximo local e no ponto c₂ vai acontecer um mínimo local. Perceba que no caso do ponto c₁ na proximidade desse ponto a concavidade do gráfico é para baixo, o que indica que a 2ª derivada dessa função é negativa nesse intervalo, já para o ponto c₂ perceba que a concavidade do gráfico está voltada para cima, o que indica que a 2ª derivada dessa função é positiva nessa proximidade do ponto c₂.

...