A EQUAÇÃO DE BERNOULLI APLICADA PARA TRANSPORTE DE ÁGUA EM UM CONDUTO

A EQUAÇÃO DE BERNOULLI APLICADA PARA TRANSPORTE DE ÁGUA EM UM CONDUTO

Roberto Gonçalves

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Adriano Souza da Costa

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RESUMO: O princípio de Bernoulli, também denominado equação de Bernoulli ou ainda Teorema de Bernoulli descreve o comportamento de um fluido movendo-se ao longo de uma linha de corrente e traduz para os fluidos o princípio da conservação da energia. Neste trabalho é feita a aplicação de tal equação para determinar a altura máxima de uma secção de saída de fluido em um conduto que transporta água para um tanque de misturas, tomando as condições iniciais de pressão e massa específica do fluido transportado.

Palavras-Chave: Escoamento, Equação de Bernoulli, Fluidodinâmica.

1. INTRODUÇÃO

A dinâmica dos líquidos está regida pelo mesmo princípio da conservação da energia, o qual foi aplicado a eles pelo físico suíço Daniel Bernoulli (1700-1782), obtendo como resultado uma equação muito útil neste estudo, que se conhece com seu nome: a equação de Bernoulli. Esta equação relaciona a aproximação da pressão, velocidade e elevação, sendo válida em regiões de escoamento incompreensível e em regime permanente, onde as forças viscosas, são desprezíveis (Çengel, 2007). Os efeitos da viscosidade são desprezados para as aplicações desta equação, uma vez que são considerados pequenos quando comparados aos efeitos da inércia, da gravidade e da pressão que atuam sobre o fluido.

O princípio de Bernoulli descreve o comportamento de um fluido movendo-se ao longo de uma linha de corrente e traduz para os fluidos o princípio da conservação da energia. A equação é bastante precisa e importante nas aplicações mais gerais de engenharia. Uma destas aplicações são nos tubos de Pilot e Venturi, normalmente para a obtenção da velocidade de escoamento, a pressão ou a altura.

Portanto, como o princípio está envolvido na obtenção da solução para problemas de escoamento, este artigo tem o objetivo de determinar a altura mínima que uma secção de saída do líquido deve estar posicionada em relação ao da primeira secção de entrada no conduto.

2. METODOLOGIA

Para se dar início à solução do problema, é preciso conhecer os fundamentos básicos que deram ao surgimento do princípio de Bernoulli. Sabe-se que o movimento de uma partícula é descrito em termos de sua posição ao longo da linha de corrente e que sua velocidade está relacionada com a distância pela taxa de variação da posição por tempo, , que pode variar ao longo da linha de corrente. A equação decorre do balanço de forças ao longo da linha de corrente. Desta forma, pode ser expressa considerando a velocidade da partícula de fluido em função da posição e do tempo , considerando o diferencial total de e dividindo ambos os lados por , tem-se

(1)

No escoamento em regime permanente a aceleração é nula, . Logo, , desta forma a aceleração na direção de torna-se

, (2)

em que ao seguir uma partícula de fluido à medida em que ela se move ao longo de uma linha de corrente. Portanto, a aceleração em um escoamento em regime permanente é devido à variação da velociadade com a posição.

Aplicando-se a 2ª Lei de Newton na direção a uma partícula que se movimenta ao longo da linha de corrente, tem-se

(3)

Nas regiões de escoamento onde as forças resultantes viscosas são desprezíveis, as forças significativas que atuam na direção são a pressão agindo em ambas as direções e a componente do peso da partícula conforme a Fig. (1).

Figura 1. Escoamento em regime permanente.

Logo, a Eq. (3) se transforma em

, (4)

onde é o ângulo entre a normal da linha de corrente e o eixo vertical z naquele ponto, é a massa, é o peso da partícula de fluido e , substituindo na Eq. (4) tem-se

(5)

Simplificando e cancelando , resulta-se em

(6)

Sabendo-se que e dividindo os termos por , tem-se

(7)

No caso de escoamento incompressível, o primeiro termo se torna uma equação diferencial exata e a sua integração resulta em

(8)

em que v é a velocidade, p é a pressão, g é a gravidade, z é a altura e C é uma constante de integração. A Eq. (9) é a conhecida equação de Bernoulli. Portanto, pode-se realizar a solução do problema citado.

Numa indústria de fabricação de cerveja, deseja-se analisar a dinâmica de fluido em um conduto circular que é responsável pelo transporte de água para um tanque de misturas. A massa específica da água transportada é de , na qual entra no conduto a um fluxo de . Considera-se que a secção de entrada, A, de diâmetro está numa altura zero, no solo (o resto anterior do sistema bombeia a água para o conduto). A secção de saída, B, possui diâmetro . As pressões nestas secções A e B são respectivamente iguais a e . Logo, o objetivo do problema é determinar a altura da secção B para que suporte tais condições fornecidas. A Fig. (1) mostra uma ilustração de como seria o sistema de condutos que transportam água para tanque de misturas.

Figura 1. Ilustração dos condutos de transporte de água para tanques

Para a resolução do problema, primeiro fez-se a conversão das unidades de pressão. Como 1 atm equivale a 101325 Pa, a pressão na secção de entrada A equivale a 202650 Pa e 70927,5 Pa na secção B. Para determinar as velocidades nas secções utilizou-se a equação da continuidade onde o produto da área pela velocidade é o