A Guiagem Navegação e Controle

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Universidade Federal do ABC

Laboratorio de Guiagem, Navegacao e Controle

Herbert Jundy Yoshioka                                                            RA 21008211

Vitor Hugo Agostini                                                                                   RA 21048112

Relatorio 1 – Problema de dois corpos

 Obter a equao que rege o movimento de um corpo sujeito apenas `a uma forca gravitacional central em coordenadas polares;

Obter a equacao do movimento em coordenadas cartesianas (no sistema geocentrico inercial);

Realizar a integracao, obtendo os valores das coordenadas X,Y,Z e Vx, Vy, Vz do movimento para uma orbita completa utilizando o ODE 45;

São Bernardo do Campo – SP
Fevereiro, 2016.

1. Resumo

O trabalho apresenta uma analise do problema de dois corpos lecionado em sala juntamento com o estudo da mudanca de referencial por diversas perspectivas, com auxilio do Software “Matlab”.

Na primeira atividade, foi realizada a analise do problema de 2 corpos a partir do raio e velocidade do satelite em relacao a Terra em coordenadas cartesianas inerciais, com o intuito de realizar o grafico da orbita do satelite. Utilizando diferentes integradores numericos para a a solucao, conclui-se uma maior eficacia no integrador ODE45.

Para uma Segunda atividade, apresenta os elementos orbitais, a equação da órbita em coordenadas polares (r,f) e sua transformação no plano da órbita para coordenadas geocêntrica inerciais (X,Y,Z) e também o trajeto descrito por estas órbitas sobre a superfície as Terra.

Sumário

1.        Introducao...........................................................................................................................2

2.        Objetivos.............................................................................................................................3

3.     Referencial Teorico..............................................................................................................8

4.     Metodologia......................................................................................................................11

5.     Resultados.........................................................................................................................14

6.     Conclusao..........................................................................................................................20

7.     Anexos...............................................................................................................................28

8.     Referências Bibliográficas e Bibliografia Básica do Projeto...............................................55

1. Introducao

O fascínio do ser humano pelo universo que envolve o celeste é histórico, desde da época dos filósofos gregos o movimento dos planetas e sua dinâmica era discutida. O senso comum inicialmente sugeria que os corpos celestes orbitavam ao redor da Terra da maneira mais perfeita possível, um círculo. Ptolomeu (151127 a.C.) foi um dos primeiros astrônomos conhecidos a um modelo que previa tais órbitas [1]. Mais de mil anos depois, Nicolau Copérnico(14731543), influenciado pelo próprio trabalho de Ptolomeu, sugeriu que o modelo do sistema solar. Seu trabalho, publicado em 1543 o sistema heliocêntrico, mas sem comprovação experimental [2]. Outro grande cientista que contribuiu para o estudo da mecânica celeste foi Galileu Galilei (15641642), que desenvolveu o conceito de método científico, e com isso descreveu o princípio da inércia, a constatação de algo estranho que permite que tudo na face da terra não “flutue” para o infinito, a gravidade.Foi ele também que consolidou o sistema heliocêntrico [3]. Contemporâneo de Galileu, Thyco Brache (15461601) criou um banco de dados das posições dos corpos celestes com extrema precisão, observou os céus e a partir deste gigantesco catálogo, percebeu algumas anomalias, dando destaque a percebida do planeta Marte, e apesar de não ter sido capaz de gerar um modelo que as explicasse, seus dados foram de grande valia para o progresso da ciência [4].

 Então, baseado nesse massivo banco de dados gerado por Brache, Kepler (15711630) quebrou paradigmas depois de muitos testes e trabalho, contribuindo com as 3 leis de Kepler. A primeira lei é a das órbitas elípticas, que vai contra o senso comum estabelecido de que as órbitas varriam círculos perfeitos. Generalizando, a órbita de um corpo sob força central resultaria em uma cônica, e o Sol estaria em um dos focos desta cônica. A segunda é a lei das áreas consiste no segmento de linha que liga o corpo celeste ao sol, varre a mesma área durante o mesmo período de tempo. A terceira lei, a harmônica descreve que os quadrados dos períodos de revolução são proporcionais aos cubos das distâncias médias do Sol aos planetas [5]. Sir Isaac Newton (16421726) foi o responsável por validar matematicamente as Leis de Kepler, estruturar toda a mecânica clássica como um toda e formular a lei da Gravitação Universal [6].

A primeira lei de Newton é o princípio da inércia, descreve que um corpo em repouso/ movimento retilíneo uniforme ficará em repouso/ movimento retilíneo uniforme a não ser que exista uma força resultante não nula agindo sobre o mesmo. A segunda lei afirma que a força resultante de uma partícula é igual a taxa temporal da variação de momento linear em relação ao referencial inercial.

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(1.1)

Onde F é a força resultante aplicada, m é a massa do corpo, P é o momento lineat e v se refere a velocidade. Colocando em termos de aceleração (a) e considerando a massa como constante, obtemos:

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(1.2)

A terceira lei de Newton é conhecida como lei de ação e reação. Consiste em que na interação de dois corpos, desconsiderando qualquer outra interação, a força resultante no corpo 1 tem a mesma intensidade, direção, mas sentido oposto da força resultante do corpo 2.

A lei da Gravitação Universal é fundamento da mecânica celeste, que descreve duas partículas quaisquer do Universo se atraem gravitacionalmente por meio de uma força que é diretamente proporcional ao produto de suas massas e inversamente proporcional ao quadrado da distância que as separa. É uma força radial, na direção da reta que liga as duas partículas no espaço, e usando as coordenadas polares, é possível obter a equação:

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