A INTERPOLAÇÃO POLINOMIAL

UNIVERSIDADE FEDERAL  DA GRANDE DOURADOS

FAEN – FACULDADE DE ENGENHARIA

ENGENHARIA CIVIL

NOME: LEONARDO PESSOA FELIPE

INTERPOLAÇÃO POLINOMIAL

DOURADOS - MS
AGOSTO/2017

1. INTRODUÇÃO

Interpolar uma função f(x) consiste em aproximar essa função por outra função g(x), escolhida entre uma classe de funções definida a priori e que satisfaça algumas propriedades. A função g(x) é então usada substituindo na função f(x). A necessidade de se efetuar esta substituição surge em várias situações, como por exemplo  quando são conhecidos somente os valores numéricos da função para um conjunto de pontos e é necessário calcular o valor da função em um ponto não tabelado e quando a função em estudo tem uma expressão tal que operações como a diferenciação e a integração são difíceis (ou mesmo impossíveis) de serem realizadas.

1. DESCRIÇÃO DO PROBLEMA

Um projétil foi lançado a partir de um ponto referencial que possuía as coordenadas (0,0). Quando o projétil estava à 10 metros do ponto de lançamento, sua altitude era de 6 metros, assim suas coordenadas eram (10,6).  Porém, quando este estava a 20 metros do ponto de lançamento, havia uma barreira, que impediu que o projétil continuasse sua trajetória, mas foi possível determinar a altitude naquele momento, que foi de 4 metros, então suas coordenadas foram (20,4).

A equação teórica da trajetória do projétil é:

[pic 1]

Porém, nessa equação, temos mais de uma incógnita, então, deve-se achar um outro método para que se possa calcular a velocidade inicial, o ângulo horizontal, e quanto de altitude o projétil estará a uma distância x qualquer do ponto de lançamento.

Com o intuito de encontrar uma solução, e como tem-se 3 pontos, é possível usar o método de interpolação de Newton e interpolar a trajetória do projétil, encontrando assim, um polinômio que satisfaça a situação.

1. DESCRIÇÃO DO MÉTODO DE INTERPOLAÇÃO

O método utilizado para resolver o problema proposto, foi o método de interpolação de Newton. Para o polinômio pn(x), que interpola f(x) em x0, x1, x2, ..., xn, (n+1) pontos distintos, usa-se a forma de Newton que está descrita abaixo:  

pn(x) = f(x0) + (x – x0) f[x0, x1] + (x – x0)(x – x1) f[x0, x1, x2] + ... + + ... + (x – x0)(x – x1) ... (x – xn–1) f[x0, x1, ..., xn]

Pode-se dizer que f[x0, x1, ..., xn] é a diferença dividida de ordem k da função f(x) sobre os k + 1 pontos: x0, x1, ..., xk. Dada uma função f(x), que possui valores conhecidos de f(x) nos pontos distintos x0, x1, ..., xn, é possível encontrar o operador de diferenças divididas de acordo com o esquema a seguir:

 [pic 2]

A partir dos valores encontrados monta-se a seguinte tabela:

[pic 3]

A partir da tabela acima, é possível encontrar o polinômio px(x).

1. RESULTADOS E DISCUSSÕES

Para encontrar um polinômio que resolvesse o problema, utilizou-se o método de interpolação de Newton, utilizando a tabela de diferenças divididas. Pegou-se os 3 pontos: (0,0), (10,6), (20,4), como mostrada a seguir:

X	Ordem 1	Ordem 2	Ordem 3
0	0[pic 4][pic 5]	(6-0) / (10-0) = 0,6[pic 6]
10	6		(-0,2-0,6) / (20-0) = - 0,04
20	4[pic 7]	(4-6) / (20-10) = - 0,2[pic 8]

Assim, substituindo na forma de Newton, tem-se:

         pn (x) = f(x0) + (x – x0) f[x0, x1] + (x – x0)(x – x1) f[x0, x1, x2] + f[x0, x1, x2] (x – x0)(x – x1)