A Sintonia dos parâmetros de um controlador PID para o controle de nível de um tanque

Sintonia dos parâmetros de um controlador PID para o controle de nível de um tanque

Felipe Shinitiro Cavalcanti Taguchi ([e-mail])

João Paulo Wech Milanezi ([e-mail])

Juliano Norio Marcondes Toda ([e-mail])

Universidade Federal de Santa Catarina (UFSC), DAS/CTC, Florianópolis, SC, Brasil

Resumo

O presente trabalho apresenta a modelagem de um sistema de algoritmos genéticos para a sintonia dos parâmetros de um controlador PID (proporcional-integral-derivativo de nível de um tanque. Visando comparar os resultados obtidos, usaremos como referência o controle feito através de um controlador sintonizado utilizando o método de Ziegler-Nichols, observando assim a eficiência da computação evolucionária quando comparada com métodos tradicionais de sintonia de PID.

No trabalho apresentamos a modelagem matemática do tanque e dos controladores, bem como a definição dos parâmetros do algoritmo genético, além da comparação dos diferentes resultados obtidos através da alteração destes valores. Para a simulação do sistema utilizaremos o software MATLAB, da empresa MathWorks, através da ferramenta Simulink, mostrando através de uma interface gráfica os resultados obtidos.

Palavras-Chave:        Tanque, controle linear, PID, algoritmos genéticos

1. Introdução

Aplicações de controle de nível de de líquido em tanques é uma aplicação de grande importância na indústria mundial, por exemplo nas indústrias de laticínios, tratamento de efluentes, sistemas de purificação de água, processamento de produtos químicos, farmacêutica, dentre inúmeras outras.

O controle de nível é um método de controle comum na indústria. O seu objetivo é o de estabilizar o nível de líquido dentro do tanque de acordo com um valor de referência (set-point) e ser capaz de manter no nível desejado independente de possíveis perturbações a que o sistema possa ser submetido. Convencionalmente utiliza-se o controle PID (proporcional-integrativo-derivativo) para essa tarefa.

No presente trabalho mostraremos como utilizar algoritmos genéticos para configurar o controlador PID e os resultados obtidos através dos métodos utilizados.

Primeiramente, realizamos a modelagem matemática do sistema. Em seguida, aplicamos todas as equações encontradas em Matlab e modelamos o sistema em malha aberta em Simulink. Após a confirmação do sistema, passamos a projetar os controladores, que serão melhores discutidos a posteriori no trabalho, e analisaremos os resultados observados. Por fim, analisamos o comportamento do sistema na presença de perturbações de entrada.

Todos os resultados obtidos serão discutidos aqui, junto às imagens obtidas através das simulações feitas.

[pic 1]

Figure 1 - Manipulador plano com 2 graus de liberdade

1. Modelagem Matemática

O modelo do robô utilizado no presente projeto é dado por:

[pic 2]

Onde M(q) é a matriz de inércia, V(q,) representa as forças centrífugas e de Coriolis, G(q) é o vetor de forças gravitacionais e são os torques aplicados em cada junta, conforme mostrado anteriormente na figura 1. Os ângulos  e são aqueles mostrados na figura 1.[pic 3][pic 4][pic 5][pic 6]

Os modelos de M(q), V(q,) eG(q) podem ser representados como segue:[pic 7]

[pic 8]

[pic 9]

Onde:

[pic 10]

[pic 11]

[pic 12]

Além disso, para facilitar os cálculos posteriormente, consideraremos V(q) +G(q) como um único fator, conforme mostraremos a seguir:

[pic 13]

[pic 14]

Os parâmetros fixos usados são:

• Massas = 2.2kg[pic 15]
• Comprimentos= 0.6m[pic 16]
• Comprimentos= 0.3m [pic 17]
• Momentos de inércia = 0.066kg.m2[pic 18]
• Aceleração da gravidade[pic 19]

Por fim, para aproximar o sistema modelado mais fielmente àquele encontrado num sistema real, incluímos um fator de atrito na equação, junto ao torque de entrada. Logo, o sistema ficará como segue:

[pic 20]

Onde:

[pic 21]

1. Pontos de Equilíbrio

Para que o sistema permaneça em equilíbrio, é necessário que a taxa de variação dos estados seja nula. Na ocorrência desse evento, o sistema fica reduzido às seguintes equações:

[pic 22]

[pic 23]

Onde,

[pic 24]

[pic 25]

Considerando que os torques  e são nulos, teremos como pontos de equilíbrio são independentes da massa do sistema. Os pontos de equilíbrio são:[pic 26][pic 27]

[pic 28]

[pic 29]

[pic 30]

[pic 31]

Observa-se pelas equações de equilíbrio reduzidas do sistema que os torques são máximos quando  são iguais a 0, condição esta que ocorre quando o manipulador segura a carga mp com os dois links em paralelo ao eixo x.  [pic 32]

1. Cinemáticas Direta e Inversa

1. Cinemática direta

O cálculo da cinemática foi feito utilizando-se a geometria do sistema. Através da figura 1, pudemos estabelecer que as coordenadas cartesianas x, y da extremidade manipula Dora do braço robótico são as seguintes:

[pic 33]

1. Cinemática inversa

A cinemática inversa consiste na obtenção dos ângulos nas juntas do manipulador através da posição final do manipulador (posições de x e y obtidas na cinemática direta).

1. Primeiramente calcularemos o ângulo :[pic 34]

Sabemos que  é a distancia entre a origem e a extremidade do manipulador.[pic 35]

Para calcularmos o ângulo auxiliar entre L1e L2 aplicaremos a regra dos cossenos no triângulo entre L1, L2 e r:

[pic 36]

[pic 37]

Utilizando a função atan2 do Matlab obtemos o ângulo aux2, conforme a seguir:

aux2 = atan2(sen_aux2,cos_aux2);

        Por fim, obtemos o angulo :[pic 38]