A TEORIA DOS METAIS

TEORIA DOS METAIS

A Teoria dos Metais está dividida em três períodos: o clássico, de 1900 a 1926, no qual predominam os modelos de Drude e Lorentz, com aplicação da distribuição clássica de Maxwell-Boltzmann; o semiclássico, no intervalo de 1926 a 1928, caracterizado pela aplicação da estatística de Fermi-Dirac sobre o modelo de Drude-Lorentz com especial destaque ao trabalho de Sommerfeld; e o quântico, a partir de 1928, quando Bloch usou a mecânica quântica de Heisenberg-Born-Jordan-Schrodinger para entender os metais por meio da chamada teoria de bandas de energia. A evolução da dessa teoria elevou a compreensão das propriedades condutoras, semicondutoras e não condutoras dos sólidos em geral.

Os trabalhos de Ludwig Drude contemplaram o estudo das propriedades térmica e elétrica dos metais do ponto de vista da Mecânica Clássica e da Teoria Cinética de um gás de partículas, considerando o metal um gás de íons com partículas positivas e negativas. Porém, sua teoria apresentava dificuldades em se determinar separadamente as condutividades térmica e elétrica dos metais, devido à dificuldade da determinação da densidade eletrônica e do livre caminho médio.

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O físico alemão Arnold Johannes Wilhelm Sommerfeld foi professor de física na Universidade de Munique entre 1906 e 1931, onde teve contato com a teoria da relatividade restrita de Albert Einstein. Foi um dos fundadores da mecânica quântica e co-descobridor da lei de quantização de Sommerfeld-Wilson, uma generalização do modelo atômico de Niels Bohr, que foi substituída pela equação de Schrödinger. Em 1927 aplicou a estatística de Fermi-Dirac ao modelo de Drude na teoria dos metais. Recebeu a medalha Lorentz (1939) e foi indicado diversas vezes para o Nobel de Física. 

1915 - A condição geral de quantização de Sommerfeld-Wilson para sistemas periódicos em termos de integrais de fase, desempenhou papel fundamental na antiga teoria atômica. Um exemplo foi à explicação da difração de um feixe por uma grade infinita com espaçamento d entre suas estrias. Aplicando-se a regra de quantização de Sommerfeld (∫pdq = nh), se um fóton incide sobre a grade numa direção que forma um ângulo i com a normal e é difratado numa direção que faz ângulo r com a normal, então, tomando as componentes do momento numa direção da superfície da grade em ângulo reto com as estrias, temos a equação de conservação do momento: (pd/h)(sen i - sen r) = n, o que, na linguagem da teoria ondulatória, será, se considerarmos que o fóton tem energia h (e portanto momento hν/c ou h/λ): nλ = d (sen i - sen r). Esta é a equação usual da óptica para a direção da radiação difratada, agora obtida a partir da teoria corpuscular da luz e da condição de quantização.

1916 - Temos as tentativas de Sommerfeld de utilizar órbitas elípticas no modelo atômico de Bohr, onde considerou inicialmente dois graus de liberdade a serem quantizados (um radial e um azimutal), ao invés do grau único da órbita circular. O sistema ficava caracterizado por dois números quânticos, n (número quântico principal ou nível de energia principal) e k (número quântico azimutal, um subnível do nível principal). O quociente k/n fornece a excentricidade (razão entre os semieixos) da órbita elíptica. A quantização de Sommerfeld se dá a partir do (número quântico principal) = (número quântico radial) + (número quântico azimutal). Posteriormente, em função da mecânica ondulatória, usou-se em vez de k, o número l = k – 1. Portanto, como k varia entre 1 e n, l varia entre 0 e n – 1. Os termos espectrais com k = 1, 2, 3, 4 (ou seja, l = 0, 1, 2, 3) ficariam conhecidos, como termos s, p, d e f (correspondendo às iniciais de sharp, principal, diffuse e fundamental).

1927-1928 - Sommerfeld aplicou as estatísticas de Fermi-Dirac ao modelo de Drude dos elétrons em metais e resolveu problemas relacionados às propriedades térmicas, como o dilema da teoria de Drude-Lorentz-Bohr com relação ao calor específico. Partindo da observação de Pauli de que os elétrons nos metais são completamente degenerados, Sommerfeld obteve nesses trabalhos muitos resultados importantes como, por exemplo, calcular o calor específico dos metais com valor aproximado de kBT/ eF, isto é, cerca de 1/100 do valor clássico e, portanto, em bom acordo com ensaios experimentais. Outra questão foi relativa à lei de Weimann-Franz, para a qual encontrou o fator π2/3 ≈ 3,29 ao invés de 3, obtido por Drude e de 2 obtido por Lorentz. Ainda sobre esses trabalhos, Sommerfeld estudou os fenômenos relacionados à emissão termiônica e com os efeitos termoelétricos, galvanomagnéticos e termomagnéticos. Dessa forma, obteve novas formulas para os efeitos Peltier e Thomson e também demonstrou que a nova expressão para o calor específico de Thomson estava em bom acordo com a parte experimental, quando comparado com a expressão clássica. A emissão termiônica dos metais foi outra questão polêmica resolvida pela teoria do Gás de Elétrons Degenerados de Pauli-Sommerfeld. Até 1927, todas as teorias desenvolvidas até então tinham como premissa a estatística de Maxwell-Boltzmann (1902, o físico Owen Richardson; 1903, Harold A. Wilson; 1923, Saul Dushman). Em seu trabalho sobre a teoria dos elétrons de Fermi-Dirac em um metal, desenvolvido entre 1927 e 1928, Sommerfeld demonstrou basicamente a fórmula de Dushman-Richardson. Contudo, o estudo da termiônica foi abordado pelo físico alemão Lothar Wolfgang Nordheim (1899- ? ) por uma outra via, qual seja, a da Mecânica Quântica não-relativista, desenvolvida a partir de 1926. Nordheim considerou que alguns elétrons no metal poderiam "atravessar a barreira de potencial” representada pela superfície do metal, mesmo se tivesse energia menor que a altura da barreira. Os trabalhos de Sommerfeld e Nordheim se completaram e desse modo, no modelo de Sommerfeld-Nordheim, a emissão termiônica se dá por dois efeitos: efeito térmico, devido ao aumento de temperatura; e efeito de campo, devido à ação de um campo elétrico na superfície do metal. Neste último caso, o campo elétrico diminui a barreira de potencial e o e o elétron "salta" ou "penetra" na mesma. Muito embora a teoria de Sommerfeld-Nordheim apresentasse um grande avanço em relação às teorias de Drude-Lorentz-Bohr e de Einstein-Debye-Born-von Kármán, ela, contudo, enfrentava algumas dificuldades. Por exemplo, permanecia inexplicável o porquê das variações do coeficiente Hall com a temperatura ou campo magnético, bem como a inversão de seu sinal, em alguns casos (bismuto). Além do mais, aquela teoria também não justificava a dependência da resistividade com a temperatura, já que a mesma não apresentava nenhuma explicação para o livre-caminho médio do elétron, pois não considerava a interação do elétron com o potencial dos átomos, isto é, o elétron não está livre no interior do metal. Desse modo, os físicos sentiram que havia necessidade de um tratamento puramente quântico para os metais e isso foi feito pelo físico suíço-norte-americano Felix Bloch, um dos estudantes de Heisenberg. Em artigo publicado em 1928, Bloch demonstrou que sua função implicava que o elétron poderia se mover livremente através da rede perfeita, em acordo com o modelo semiclássico de Sommerfeld-Nordheim ocasionando, assim, uma condutividade infinita. Portanto, a condutividade finita observada experimentalmente só poderia ser resultado de imperfeições do cristal ou do movimento iônico.