ANÁLISE DE PLACAS PELO MÉTODO DE ELEMENTOS DE CONTORNO DE RECIPROCIDADE DUAL

ANÁLISE DE PLACAS USANDO O MÉTODO DE ELEMENTOS DE CONTORNO DE RECIPROCIDADE DUAL

André Pereira Santana

Departamento de Projeto Mecânico

Universidade Estadual de Campinas

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Edson Jansen Pedrosa de Miranda Júnior

Departamento de Mecânica e Materiais

Centro Federal de Educação Tecnológica do Maranhão

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Paulo César Marques Doval

Departamento de Mecânica e Materiais

Centro Federal de Educação Tecnológica do Maranhão

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RESUMO 

Este artigo aborda o desenvolvimento, a implementação e aplicações de uma formulação de elementos de contorno (MEC) para análise de problemas estáticos de elasticidade linear em meios isotrópicos. As integrais de domínio, provenientes dos carregamentos distribuídos ou dos termos de inércia ou efeitos não lineares como forças de corpo, são transformadas em integrais de contorno utilizando-se o método da reciprocidade dual (DRM). Os termos de inércia são aproximados por uma série finita de funções de aproximação e coeficientes a determinar. Esta série é substituída nas integrais de domínio que então, são transformadas em integrais de contorno. Esta formulação será aplicada no cálculo de tensões e deformações em pontos do contorno e pontos internos e da na malha na precisão dos resultados. Os resultados numéricos são apresentados para problemas quase-isotrópicos e comparados com resultados presentes na literatura e mostram boa concordância.

1. INTRODUÇÃO

Considerando que nos materiais isotrópicos, a nível atômico e molecular, a hipótese dos pequenos deslocamentos e levando em consideração que a maioria dos objetos em engenharia está sujeito a pequenas deformações (< 0,001), é definido o tensor de deformações que relaciona as deformações com os respectivos deslocamentos:

                                                  [pic 1]       i,j = 1, 2, 3                                           (1)                                                                                            

onde ui são os deslocamentos ao longo da direção i, eij é o tensor das deformações com os respectivos deslocamentos:

A partir da transformação de tensão de Cauchy e levando em conta o equilíbrio de um sólido sob forças de superfície em sua superfície e forças de corpo em seu domínio, obtemos um conjunto de três equações de equilíbrio:

                                               σji,j + fi = 0            i,j = 1, 2, 3                                                   (2)

sendo esta equação válida para sólidos sem um  comportamento dinâmico, que será analisado em questão, temos que fi são as forças de corpo por unidade de volume e σij é o tensor de tensões.

Pode-se observar experimentalmente a lei de Hooke (para o caso do material isotrópico):

                                            σki = Ckimnemn    k, i, m, n = 1, 2, 3                                                (3)              

onde σki é o tensor de tensões, Ckimn são constantes (dependendo apenas das direções k e i) e emn que é o tensor de deformações. Podemos re-escrever obtendo:

                                                        σij = λδijekk + 2μeij                                                                                         (4)

Onde λ e μ são as constantes de Lamé, δij é o delta de Kronecker, σij é o tensor de tensões.

1. MÉTODOS DOS ELEMENTOS DE CONTORNO PARA MATERIAIS ISOTRÓPICOS

A formulação de integrais de contorno para elasticidade linear a ser apresentada requer o conhecimento de soluções para problemas especiais de elasticidade. Nesses problemas as propriedades do material são as mesmas do componente que se quer analisar, mas correspondente a um domínio infinito carregado com uma carga pontual unitária. Essas soluções são chamadas de solução fundamental da elastostática, ou solução de Kelvin, e consistem para deslocamento e para forças de superfície.

Para estado plano de tensão ou deformação, a relação recíproca entre o estado fundamental, cujos deslocamentos são dados por Uik e as forças de superfícies são dadas por Tik, e um estado genérico, sob carregamento estático e com a presença de forças atuantes no domínio (forças de corpo) é dado por (KANE, 1993):

                                [pic 2] [pic 3]+ [pic 4][pic 5][pic 6] = [pic 7] + [pic 8]                                     (5)

onde [pic 9] e [pic 10] são as soluções fundamentais de deslocamento e forças de superfície, respectivamente, [pic 11] é igual a [pic 12]para contornos suaves, sendo [pic 13] o Delta de Kronecker, [pic 14] e [pic 15] são os vetores de deslocamento e forças de superfície respectivamente.

É importante ressaltar que a integral de domínio acima pode ser transformada em integral de contorno a partir do método dos Elementos de contorno da Dupla Reciprocidade.

 As soluções fundamentais para deslocamentos e forças de superfície são apresentadas nas equações (6) e (7).

                                  [pic 16]                                        (6)

             [pic 17]                   (7)

A dedução dessas soluções podem ser encontradas em (KANE, 1993) e (BREBIA e DOMINGUEZ, 1989).

1. FUNÇÕES DE FORMA

Como enfatizado por (KANE, 1994), o passo fundamental para o desenvolvimento do método dos elementos de contorno é o abandono da aspiração por uma solução exata do problema. Este requisito e substituído por outra estratégia: encontrar uma solução aproximada de alta qualidade em um número finito de pontos no contorno do problema, os nós.