APLICAÇÕES DE EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ORDINÁRIAS
Por: ericxavier • 11/6/2016 • Trabalho acadêmico • 1.017 Palavras (5 Páginas) • 627 Visualizações
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UNIVERSIDADE ESTÁCIO DE SÁ
ENGENHARIA CIVIL
APLICAÇÕES DE EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ORDINÁRIAS
Disciplina: Cálculo III.
Professor: Fábio Augusto Filippe Vago
Vitória/ES
Maio / 2016
1ª Aplicação de Equações Diferenciais Ordinárias:
Na hipótese de um investidor realizar uma aplicação de uma quantia em uma instituição financeira que remunere o capital a uma taxa de variação proporcional ao saldo a cada instante . Esse problema pode ser descrito como problema de valor inicial.[pic 2][pic 3][pic 4]
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A solução para esse problema seria:
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O modelo pode não parecer muito realista, pois normalmente os juros são creditados em períodos inteiros igualmente espaçados, ou seja, se é a taxa de juros em um período de tempo, então o salto após períodos é dado por:[pic 7][pic 8][pic 9]
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ou seja
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Se substituirmos por na solução do problema de valor inicial obtida inicialmente e compararmos com a solução anterior temos:[pic 14][pic 15]
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Ou seja,
ou [pic 17][pic 18]
Sendo assim, a hipótese inicial de que os juros são creditados continuamente é realista desde que a constante de proporcionalidade da equação diferencial e a taxa de juros estejam relacionadas.[pic 19][pic 20]
Exemplo de aplicação 01
Vamos supor que uma aplicação renda 1% ao mês (continuamente). Vamos encontrar o saldo como função do tempo e o saldo após 12 meses se o valor inicial é de R$100,00.
Podemos descrever o problema de encontrar S(t) como problema de valor inicial.
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Vamos supor, agora, que além do investimento inicial façamos depósitos ou saques continuamente a uma taxa constante d (positivo no caso de depósitos e negativo no caso de saques), então neste caso o modelo que descreve esta situação é o do problema de valor inicial.[pic 24]
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A equação é linear e pode ser reescrita como
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Para resolvê-la vamos determinar o fator integrante.
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Temos a seguinte equação
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Integrando ambos os membros
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Substituindo-se t=0 e S=S0, obtemos
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Vamos comparar este resultado com o caso em que além dos juros serem creditados em intervalos constantes os depósitos ou saque de valor D são feitos em intervalos constantes. Nesse caso o saldo após n unidades de tempo é dado por
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Foi usada a soma de uma progressão geométrica. Substituindo-se t por n na solução do problema de valor inicial e comparado às equações obtemos
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ou seja,
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Obtemos
ou [pic 39][pic 40]
Assim podemos também neste caso usar o modelo contínuo em que os depósitos ou saque são feitos continuamente desde que a taxa contínua de depósitos d e os depósitos constantes D estejam relacionados.
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Figura 1: Saldo em função do tempo quando são feitos depósitos a uma taxa constante
Exemplo de aplicação 02:
Suponha que seja aberta uma caderneta de poupança com o objetivo de no futuro adquirir um bem no valor de R$40.000,00. Suponha que os juros sejam creditados continuamente a uma taxa de r=1% ao mês e que os depósitos também sejam feitos continuamente a uma taxa constante, sendo no início o saldo igual à zero. Vamos determinar de quanto deve ser a taxa de depósito mensal para que em 20 meses consiga atingir o valor pretendido.
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A equação é linear e pode ser reescrita como
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Para resolvê-la precisamos determinar o fator integrante
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Multiplicando-se a equação por obtemos[pic 45][pic 46]
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Substituindo-se t=0 e S-0, obtemos
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Ou seja, a solução do problema de valor inicial é
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Substituindo-se t=20 e S=40000:
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Exemplo de aplicação 03 – Reações Químicas
Um composto C é formado da reação de duas substâncias A e B. A reação A reação ocorre de forma que para casa m gramas de A, n gramas e B são usadas. A taxa com que se obtém a substância C é proporcional tanto à quantidade de A quanto a quantidade de B não transformadas. Inicialmente havia α0 gramas de A e β0 gramas de B.
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