AS FUNÇÕES DE VÁRIAS VARIÁVEIS: ALGUMAS APLICAÇÕES

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Funções de várias variáveis: algumas aplicações

1ª Questão: A temperatura T de uma localidade do Hemisfério Norte depende da longitude x, da latitude y e do tempo t, de modo que podemos escrever T=f(x,y,t). O tempo é medido em horas a partir do princípio de janeiro.

(a) Qual o significado das derivadas parciais ∂T/∂x , ∂T/∂y e ∂T/∂t ?

Resposta:

∂T/∂x  é a taxa de variação da temperatura quando a longitude muda, mas a latitude e o tempo são constantes.

∂T/∂y é a taxa de variação da temperatura quando a latitude muda, mas a longitude e o tempo são constantes.

∂T/∂t é a taxa de variação da temperatura quando o tempo muda, mas a latitude e a longitude permanecem constantes.

(b) Honolulu tem longitude de 158º W e latitude de 21º N. Suponha que às 9 horas em 1º de janeiro esteja ventando do noroeste uma brisa quente, de forma que a oeste e a sul o ar esteja quente e a norte e leste o ar esteja frio. Você esperaria fx(158,21,9), fy(158,21,9) e ft(158,21,9) serem positivos ou negativos? Explique. (Atenção para o fato das longitudes serem contadas a partir do meridiano central, sendo positivas para leste (E) e negativas para oeste (W)).

Resposta:

Longitude =  fx (158, 21, 9) > 0

Latitude    =  fy (158, 21, 9) < 0

Tempo       =  ft (158, 21, 9)  > 0

2ª Questão: Suponha que em uma certa região do espaço o potencial elétrico seja V seja dado por 𝑉(𝑥,𝑦,𝑧)=5𝑥−3𝑥2𝑦+𝑥𝑦𝑧.

(a) Qual o domínio da função V?

(b) Determine a taxa de variação do potencial em P(3,4,5) na direção do vetor 𝒊̂+ 𝒋̂+𝒌̂.

(c) Em que direção e sentido V varia mais rapidamente em P?

Resposta:

D = { (x,y,z) | x, y, z ∈ R}

V (x, y, z) = (5x)² - 3xy + xyz

∂V/∂x = 10x - 3y + yz

∂V/∂y = - 3x + xz

∂V/∂z = xz

Calculando as derivadas parciais no ponto P = (3, 4, 5):

∂V(P)/∂x = (10 * 3) - (3 * 4) + (4 * 5)

∂V(P)/∂x = 38

∂V(P)/∂y = -(3 * 3) + (3 * 5)

∂V(P)/∂y = 6

∂V(P)/∂z = 3 * 4

∂V(P)/∂z = 12

∂V(P) = (38, 6, 12)

v= i + j + k

v = (1, 1, 1)
v = √1² + 1² + 1² = √3

DV(P) = (38, 6, 12) * ((1, 1, 1)/ √3)

DV(P) = (38 + 6 +12) / √3
DV(P) =  56/√3

Dvf (x, y, z) = ∇​f * cos ∝
cos ∝ = 1
Dvf (x, y, z)máximo = |∇​f | * cos ∝

Dvf (x, y, z)máximo = |∇​f | * 1

Dvf (x, y, z)máximo = |∇​f |

Dvf (x, y, z)máximo = (38, 6, 12)

V varia mais rapidamente em P na direção do gradiente.

3ª Questão: Uma caixa de papelão (com tampa) deve ter um volume de 32.000 cm3. Determine as dimensões (aproximadas) da caixa que minimizem a quantidade de papelão utilizado. (Atenção: o raciocínio desenvolvido deve ser o mais geral possível, logo a caixa deve ser considerada, inicialmente, retangular)

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